Đặt \(t = {x^2} + 2x + 4 = {\left( {x + 1} \right)^2} + 3 \ge 3\), phương trình trở thành

\({t^2} - 2mt + 4m - 1 = 0{\rm{ }}\left( 2 \right)\)

Nhận xét: Ứng với mỗi nghiệm \(t > 3\) của phương trình \(\left( 2 \right)\) cho ta hai nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\). Do đó phương trình \(\left( 1 \right)\) có đúng hai nghiệm khi phương trình \(\left( 2 \right)\) có đúng một nghiệm \(t > 3\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 0\\x = - \dfrac{b}{2a} > 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\af\left( 3 \right) < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4m + 1 = 0\\m > 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4m + 1 > 0\\1.\left( {{3^2} - 2m.3 + 4m - 1} \right) < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2 + \sqrt 3 \\m > 4\end{array} \right.\)