Bước 1:

Ta có: \({z^2} + \left| z \right| = 0 \Leftrightarrow \left| z \right| = - {z^2}\).

Bước 2:

Lấy môđun 2 vế của phương trình ta có:

\({\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left| {\left| z \right|} \right| = \left| { - {z^2}} \right| \Leftrightarrow \left| z \right| = {\left| z \right|^2}\)

\( \Leftrightarrow \left| z \right|\left( {1 - \left| z \right|} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| z \right| = 0}\\{\left| z \right| = 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} }\end{array}} \right.\)

Bước 3:

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{z = 0}\\{{z^2} + 1 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{z = 0}\\{z = {\rm{\;}} \pm i}\end{array}} \right.\)

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phức duy nhất \(z = 0,\,\,z = \pm i\).