Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1;0;0), , ,B(3;2;4), ,C(0;5;4). Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho <=ft| ( overrightarrow (MA)  + overrightarrow (MB)  + 2 overrightarrow (MC) ) right| nhỏ nhất.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho hai đường thẳng $d:\dfrac{{x + 2}}{2} = \dfrac{{y + 3}}{5} = \dfrac{{z - 4}}{{ - \,1}}$ và $d':\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - t\\y = 1\\z = 10 + t\end{array} \right..$ Hai điểm $A \in d$ và $B \in d'$ thỏa mãn đường thẳng $AB$ vuông góc với cả hai đường thẳng $d,\,\,d'.$ Có bao nhiêu mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng $d$ tại $A$ và tiếp xúc với đường thẳng $d'$ tại $B$ ?

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y + 4z - 20 = 0\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y - z - m = 0\). Tìm m để \(\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính lớn nhất.

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), gọi \(I\left( {a,b,c} \right)\) là tâm mặt cầu đi qua điểm \(A\left( {1; - 1;4} \right)\) và tiếp xúc với tất cả các mặt phẳng tọa độ. Tính \(P = a - b + c\).

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho ba điểm \(A\left( { - 1;\,0;\,1} \right)\), \(B\left( {3;\,2;\,1} \right)\), \(C\left( {5;\,3;\,7} \right)\). Gọi \(M\left( {a;\,b;\,c} \right)\) thỏa mãn \(MA = MB\) và \(MB + MC\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính \(P = a + b + c.\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - 2y + z - 1 = 0\), \(\left( Q \right):\,\,x - 2y + z + 8 = 0\) và \(\left( R \right):\,\,x - 2y + z - 4 = 0\). Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt phẳng \(\left( P \right);\left( Q \right);\left( R \right)\) lần lượt tại A, B, C. Đặt \(T = \dfrac{{A{B^2}}}{4} + \dfrac{{144}}{{AC}}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(T\).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với $A(1;0;0),\,\,B(3;2;4),\,C(0;5;4)$. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho $\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC} } \right|$ nhỏ nhất.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho ba điểm $A\left( {3;0;0} \right),\,\,B\left( {1;2;1} \right)$ và $C\left( {2; - \,1;2} \right).$ Biết mặt phẳng qua $B,\,\,C$ và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện $OABC$ có một vectơ pháp tuyến là $\left( {10;a;b} \right).$ Tổng $a + b$ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho điểm $A\left( {1;1;1} \right)$ và đường thẳng $d:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{{ - \,2}} = \dfrac{{z - 1}}{9}.$ Biết đường thẳng $\Delta $ qua $A,$ cắt $d$ và khoảng cách từ gốc tọa độ đến $\Delta $ nhỏ nhất, $\Delta $ có một vectơ chỉ phương là $\left( {1;a;b} \right).$ Tổng $a + b$ là

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${d_1}:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 2}}{1}$ và ${d_2}:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{7} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 1}}$. Đường vuông góc chung của ${d_1}$ và ${d_2}$ lần lượt cắt ${d_1},\,\,{d_2}$ tại A và B. Diện tích tam giác OAB bằng

Trong không gian ${\rm{Ox}}yz$, cho đường thẳng $d:\,\,\dfrac{{x - 2}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 1}}{2}$ và hai điểm $A(3;2;1)$, $B(2;0;4)$. Gọi $\Delta $ là đường thẳng qua A, vuông góc với d sao cho khoảng cách từ B đến $\Delta $ là nhỏ nhất. Gọi $\overrightarrow u  = (2;b;c)$ là một VTCP của $\Delta $. Khi đó, $\left| {\overrightarrow u } \right|$ bằng