Cho phương trình ((x^2) -mx + m - 1 = 0 ), với (m ) là tham số. Gọi ((x_1),(x_2) ) là hai nghiệm của phương trình.
Cho phương trình \({x^2} -mx + m - 1 = 0\), với \(m\) là tham số. Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình.
Câu 35403 Vận dụng cao
Tìm hệ thức liên hệ giữa \({x_1},{x_2}\) không phụ thuộc vào \(m\).
Đáp án đúng: d
Phương pháp giải
+ Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt
+ Sử dụng hệ thức Vi-et để biến đổi và tìm biểu thức không phụ thuộc vào \(m.\)
Xem lời giải
Lời giải của GV Vungoi.vn
Ta có \(\Delta = {m^2} - 4\left( {m - 1} \right) = {\left( {m - 2} \right)^2} \ge 0\), với mọi \(m\).
Do đó phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của \(m\).
Theo hệ thức Viet, ta có: \({x_1} + {x_2} = m\) và \({x_1}{x_2} = m - 1\)
Thay \(m = {x_1} + {x_2}\) vào \({x_1}{x_2} = m - 1\), ta được \({x_1}{x_2} = {x_1} + {x_2} - 1\)
Vậy hệ thức liên hệ giữa \({x_1},{x_2}\) không phụ thuộc vào \(m\) là \({x_1}{x_2} = {x_1} + {x_2} - 1\).
Đáp án cần chọn là: d
Câu 35402 Vận dụng cao
Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức \(A = \dfrac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2\left( {{x_1}{x_2} + 1} \right)}}\) lần lượt là:
Đáp án đúng: a
Phương pháp giải
+ Biến đổi \(A = \dfrac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2\left( {{x_1}{x_2} + 1} \right)}}\) để sử dụng hệ thức Vi-et đưa về biểu thức ẩn \(m\) để lập luận.
Xem lời giải
Lời giải của GV Vungoi.vn
Ta có \(\Delta = {m^2} - 4\left( {m - 1} \right) = {\left( {m - 2} \right)^2} \ge 0\), với mọi \(m\).
Do đó phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của \(m\).
Theo hệ thức Viet, ta có: \({x_1} + {x_2} = m\) và \({x_1}{x_2} = m - 1\)
Ta có: \(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {m^2} - 2\left( {m - 1} \right) = {m^2} - 2m + 2\).
Suy ra \(A = \dfrac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2\left( {{x_1}{x_2} + 1} \right)}} = \dfrac{{2m + 1}}{{{m^2} + 2}}\). Vì \(A - 1 = \dfrac{{2m + 1}}{{{m^2} + 2}} - 1 = \dfrac{{2m + 1 - {m^2} - 2}}{{{m^2} + 2}} = - \dfrac{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}{{{m^2} + 2}} \le 0\) với mọi \(m \in \mathbb{R}\)
Suy ra \(A \le 1\) với mọi \( m \in \mathbb{R}\). Dấu “=” xảy ta khi và chỉ khi \(m = 1\)
Và \(A + \dfrac{1}{2} = \dfrac{{2m + 1}}{{{m^2} + 2}} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{{2\left( {m + 1} \right) + {m^2} + 2}}{{2\left( {{m^2} + 2} \right)}} = \dfrac{{{{\left( {m + 2} \right)}^2}}}{{2\left( {{m^2} + 2} \right)}} \ge 0\) với mọi \(m \in \mathbb{R}\)
Suy ra \(A \ge - \dfrac{1}{2}\) với mọi \(m \in \mathbb{R}\). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(m = - 2\).
Vậy GTLN của \(A\) bằng \(1\) khi \(m = 1\) và GTNN của \(A\) bằng \( - \dfrac{1}{2}\) khi \(m = - 2\).
Đáp án cần chọn là: a
