Vẽ \(AH \bot BD\left( {H \in BD} \right)\).

Tứ giác \(ABCD\) có \(OA = OA = R,OB = OD = R\) nên là hình bình hành.

Mà \(AC = BD = 2R\) do đó tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật, suy ra \({S_{ABCD}} = AB.AD\)

\(\Delta ABD\) có \(\widehat A = {90^0}\), \(AH \bot DB\) nên \(AB.AD = AH.DB\).

Vì \(AH \le AO,DB = 2R\) nên \({S_{ABCD}} \le 2{R^2}\) (không đổi). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow H \equiv O \Leftrightarrow AC \bot BD\).

Vậy khi hai đường kính \(AC\) và \(BD\) vuông góc với nhau thì diện tích tứ giác \(ABCD\) lớn nhất.