Cho hàm số (y = (x^2) - 2x - 2 ) có đồ thị (( P ) ), và đường thẳng (( d ) ) có phương trình (y = x + m ). Tìm m để (( d ) ) cắt (( P ) ) tại hai điểm phân biệt (A ), (B ) sao cho (O(A^2) + O(B^2) ) đạt giá trị nhỏ nhất.

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên không dương của tham số $m$ để phương trình $\sqrt {2x + m}  = x - 1$ có nghiệm duy nhất?

Giả sử phương trình $2{x^2} - 4mx - 1 = 0$ (với $m$ là tham số) có hai nghiệm ${x_1}$, ${x_2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \left| {{x_1} - {x_2}} \right|$.

Gọi $S$ là tập hợp các giá trị của tham số $m$ sao cho parabol $\left( P \right)$: $y = {x^2} - 4x + m$ cắt $Ox$ tại hai điểm phân biệt $A$, $B$ thỏa mãn $OA = 3OB$. Tính tổng $T$ các phần tử của $S$.

Phương trình $\sqrt[3]{{x + 5}} + \sqrt[3]{{x + 6}} = \sqrt[3]{{2x + 11}}$ có bao nhiêu nghiệm.

Tập nghiệm của phương trình $\sqrt[4]{{x - \sqrt {{x^2} - 1} }} + \sqrt {x + \sqrt {{x^2} - 1} }  = 2$ là

Tìm $m$ để phương trình $\left( {m - 1} \right){x^4} - m{x^2} + {m^2} - 1 = 0$ có ba nghiệm phân biệt.

Phương trình ${x^4} - 5{x^3} + 8{x^2} - 10x + 4 = 0$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?

Cho hàm số $y = {x^2} - 2x - 2$ có đồ thị $\left( P \right)$, và đường thẳng $\left( d \right)$ có phương trình $y = x + m$. Tìm $m$ để $\left( d \right)$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $A$, $B$ sao cho $O{A^2} + O{B^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Số nghiệm của phương trình ${x^2} - 2x - 8 = 4\sqrt {\left( {4 - x} \right)\left( {x + 2} \right)}$ là

Tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $\sqrt {1 + x}  + \sqrt {1 - x}  + 4\sqrt {1 - {x^2}}  = m$ có nghiệm là

Cho phương trình ${x^3} - \left( {2m + 1} \right){x^2} + \left( {4m - 1} \right)x - 2m + 1 = 0.$ Tìm $m$ để phương trình có một nghiệm duy nhất?

Tổng bình phương các nghiệm của phương trình ${x^2} + 5x + 2 + 2\sqrt {{x^2} + 5x + 10}  = 0$ là

Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình ${x^2} - 2x - 3 - m = 0$ có nghiệm $x \in \left[ {0;4} \right]$.

Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ có đồ thị như hình vẽ.

Phương trình $2f\left( x \right) - 1 = 0$ có bao nhiêu nghiệm?

Tổng các bình phương các nghiệm của phương trình $\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) + 3\sqrt {{x^2} - 4x + 5}  - 2 = 0$ là

Tìm phương trình đường thẳng $d:y = ax + b$. Biết đường thẳng $d$ đi qua điểm $I\left( {1\,;\,3} \right)$ và tạo với hai tia $Ox$, $Oy$ một tam giác có diện tích bằng $6$?