Cho cot alpha = 3. Khi đó ((3sin alpha - 2cos alpha ))((12((sin )^3)alpha + 4((cos )^3)alpha )) có giá trị bằng
Câu 44833 Vận dụng cao
Cho $\cot \alpha = 3$. Khi đó $\dfrac{{3\sin \alpha - 2\cos \alpha }}{{12{{\sin }^3}\alpha + 4{{\cos }^3}\alpha }}$ có giá trị bằng
Đáp án đúng: a
Phương pháp giải
Từ điều kiện đã cho rút \(\cos \alpha \) theo \(\sin \alpha \) và thay vào tính giá trị biểu thức.
Xem lời giải
Lời giải của GV Vungoi.vn
Ta có:
$\cot \alpha = 3 \Rightarrow \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = 3 \Leftrightarrow \cos \alpha = 3\sin \alpha $
Thay vào biểu thức đề bài ta được:
$\dfrac{{3\sin \alpha - 2.3\sin \alpha }}{{12{{\sin }^3}\alpha + 4.{{\left( {3\sin \alpha } \right)}^3}}}$$ = \dfrac{{ - 3\sin \alpha }}{{120{{\sin }^3}\alpha }} = - \dfrac{1}{{40}}.\dfrac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}$ $ = - \dfrac{1}{{40}}\left( {1 + {{\cot }^2}\alpha } \right)$ $ = - \dfrac{1}{{40}}\left( {1 + {3^2}} \right) = - \dfrac{1}{4}$
Đáp án cần chọn là: a
Cách khác:
$\dfrac{{3\sin \alpha - 2\cos \alpha }}{{12{{\sin }^3}\alpha + 4{{\cos }^3}\alpha }} = \dfrac{{\dfrac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\left( {3 - 2\cot \alpha } \right)}}{{12 + 4{{\cot }^3}\alpha }} = \left( {1 + {{\cot }^2}\alpha } \right)\dfrac{{3 - 2\cot \alpha }}{{12 + 4{{\cot }^3}\alpha }} = - \dfrac{1}{4}$.
