Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy ), cho tam giác (ABC ) có trực tâm (O ). Gọi (M ) là trung điểm của (BC ); (N ), (P ) lần lượt là chân đường cao kẻ từ (B ) và (C ). Đường tròn đi qua ba điểm (M ), (N ), (P ) có phương trình là (( T ):(( (x - 1) )^2) + (( (y + (1)(2)) )^2) = ((25))(4) ). Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác (ABC ) là:

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường tròn $\left( C \right):{\left( {x - 6} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 12$. Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn $\left( C \right)$ qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm \(O\) tỉ số $\dfrac{1}{2}$ và phép quay tâm \(O\) góc $90^\circ $.

Cho đường thẳng \(d\) có phương trình \(4x + 3y - 5 = 0\) và đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \(x + 2y - 5 = 0\). Phương trình đường thẳng \(d'\) là ảnh của đường thẳng \(d\) qua phép đối xứng trục \(\Delta \) là

Thành phố Hải Đông dự định xây dựng một trạm nước sạch để cung cấp cho hai khu dân cư \(A\) và \(B\). Trạm nước sạch đặt tại vị trí\(C\) trên bờ sông. Biết \(AB = 3\sqrt {17} \,{\rm{km}}\), khoảng cách từ \(A\) và \(B\) đến bờ sông lần lượt là \(AM = 3\,{\rm{km}}\), \(BN = 6\,{\rm{km}} \)(hình vẽ). Gọi \(T\) là tổng độ dài đường ống từ trạm nước đến \(A\) và \(B\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(T\).

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng \(d:\)\(3x - y + 2 = 0\). Viết phương trình đường thẳng \(d'\) là ảnh của $d$ qua phép quay tâm $O$ góc quay \( - {90^{\rm{o}}}\).

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai đường tròn $\left( C \right):{\left( {x + m} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 5$ và $\left( {C'} \right):{x^2} + {y^2} + 2\left( {m - 2} \right)x - 6y + 12 + {m^2} = 0$. Vectơ $\overrightarrow v $ nào dưới đây là vectơ của phép tịnh tiến biến $\left( C \right)$ thành $\left( {C'} \right)$?

Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4.\) Hỏi phép vị tự tâm \(O\) tỉ số \(k =  - 2\) biến \(\left( C \right)\) thành đường tròn nào sau đây:

Cho ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) thẳng hàng theo thứ tự đó và \(AB = 2BC\). Dựng các hình vuông \(ABEF\), \(BCGH\) (đỉnh của hình vuông tính theo chiều kim đồng hồ). Xét phép quay tâm \(B\) góc quay \( - 90^\circ \) biến điểm \(E\) thành điểm \(A.\) Gọi \(I\) là giao điểm của \(EC\) và \(GH.\) Giả sử \(I\) biến thành điểm \(J\) qua phép quay trên. Nếu \(AC = 3\) thì \(IJ\) bằng

Trong mặt phẳng \(Oxy\), tìm phương trình đường tròn \(\left( {C'} \right)\) là ảnh của đường tròn \(\left( C \right)\): \({x^2} + {y^2} = 1\) qua phép đối xứng tâm \(I\left( {1;\;0} \right)\).

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), phép quay tâm \(O\) góc quay \(90^\circ \) biến điểm \(M\left( { - 1;\;2} \right)\) thành điểm \(M'\). Tọa độ điểm \(M'\) là

Ảnh của điểm \(M\left( {2; - 3} \right)\) qua phép quay tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\) góc quay \(120^\circ \) là

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có trực tâm \(O\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\); \(N\), \(P\) lần lượt là chân đường cao kẻ từ \(B\) và \(C\). Đường tròn đi qua ba điểm \(M\), \(N\), \(P\) có phương trình là \(\left( T \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + \dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{{25}}{4}\). Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là: