Cho hình vuông (ABCD ) có cạnh bằng (1 ). Hai điểm (M ), (N ) thay đổi lần lượt ở trên cạnh (AB ), (AD ) sao cho (AM = x( (0 <= x <= 1) ) ), (DN = y( (0 <= y <= 1) ) ). Tìm mối liên hệ giữa (x ) và (y ) sao cho (CM vuông góc BN ).

Tam giác $ABC$ vuông cân tại \(A\) và nội tiếp trong đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R\). Gọi \(r\) là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Khi đó tỉ số \(\dfrac{R}{r}\) bằng

Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh \(18\,{\rm{cm}}\). Tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn đẳng thức \(\left| {2\overrightarrow {MA}  + 3\overrightarrow {MB}  + 4\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB} } \right|\) là

Muốn đo chiều cao của tháp chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận người ta lấy hai điểm $A$ và $B$ trên mặt đất có khoảng cách $AB = 12\,{\rm{m}}$ cùng thẳng hàng với chân $C$ của tháp để đặt hai giác kế. Chân của giác kế có chiều cao $h = 1,3\,{\rm{m}}$. Gọi $D$ là đỉnh tháp và hai điểm \({A_1}\), \({B_1}\) cùng thẳng hàng với \({C_1}\) thuộc chiều cao $CD$ của tháp. Người ta đo được góc \(\widehat {D{A_1}{C_1}} = 49^\circ \) và \(\widehat {D{B_1}{C_1}} = 35^\circ \). Tính chiều cao $CD$ của tháp.

Trên nóc một tòa nhà có cột ăng-ten cao \(5\,{\rm{m}}\). Từ vị trí quan sát \(A\) cao \(7\,{\rm{m}}\) so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh \(B\) và chân \(C\) của cột ăng-ten dưới góc \(50^\circ \) và \(40^\circ \) so với phương nằm ngang (như hình vẽ bên). Chiều cao của tòa nhà (được làm tròn đến hàng phần mười) là:

Cho tam giác $ABC$ có $a = 5$ ${\rm{cm}}$, $c = 9$ ${\rm{cm}}$, $\cos C =  - \dfrac{1}{{10}}$. Tính độ dài đường cao ${h_a}$ hạ từ $A$ của tam giác $ABC$.

Cho đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R\) và điểm \(M\) thỏa mãn \(MO = 3R\). Một đường kính \(AB\) thay đổi trên đường tròn. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = MA + MB\).

Từ một miếng tôn có hình dạng là nửa đường tròn bán kính $1\;{\rm{m}}$, người ta cắt ra một hình chữ nhật. Hỏi có thể cắt được miếng tôn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?

Cho \(\overrightarrow u  = \overrightarrow a  + 3\overrightarrow b \) vuông góc với \(\overrightarrow v  = 7\overrightarrow a  - 5\overrightarrow b \) và \(\overrightarrow x  = \overrightarrow a  - 4\overrightarrow b \) vuông góc với \(\overrightarrow y  = 7\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b \). Khi đó góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) bằng

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(BC = a\sqrt 3 \), \(M\) là trung điểm của \(BC\) và có \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC}  = \dfrac{{{a^2}}}{2}\). Tính cạnh \(AB\), \(AC\).

Đoạn thẳng $AB$ có độ dài $2a$, $I$ là trung điểm \(AB\). Khi \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = 3{a^2}\). Độ dài $MI$ là:

Cho tam giác $ABC$ đều cạnh bằng $a$. Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức $4M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = \dfrac{{5{a^2}}}{2}$ nằm trên một đường tròn $\left( C \right)$ có bán kính $R$. Tính \(R\).

Biết $\sin \alpha  = \dfrac{{\sqrt {2017}  + 1}}{{2018}},$ $90^\circ  < \alpha  < 180^\circ $. Tính giá trị của biểu thức $M = \cot \alpha  + \dfrac{{\sin \alpha }}{{1 + \cos \alpha }}$.

Trong hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho tam giác $ABC$ có $A\left( {1;\,3} \right)$, $B\left( { - 1;\, - 1} \right)$, $C\left( {1;\,1} \right)$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ có tâm $I\left( {a;\,b} \right)$. Giá trị $a + b$ bằng

Cho hình thang cân \(ABCD\) có đáy nhỏ \(AB\), đáy lớn \(CD\). Biết \(AB = AD\) và \(\tan \widehat {BDC} = \dfrac{3}{4}\). Tính $\cos \widehat {BAD}$.

Cho ba véc-tơ \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \), \(\overrightarrow c \) thỏa mãn: \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 4\), \(\left| {\overrightarrow b } \right| = 1\), \(\left| {\overrightarrow c } \right| = 5\) và \(5\left( {\overrightarrow b  - \overrightarrow a } \right) + 3\overrightarrow c  = \overrightarrow 0 \). Khi đó biểu thức \(M = \overrightarrow {a\,} .\overrightarrow {b\,}  + \overrightarrow {b\,} .\overrightarrow {c\,}  + \overrightarrow {c\,} .\overrightarrow {a\,} \) có giá trị là

Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(1\). Hai điểm \(M\), \(N\) thay đổi lần lượt ở trên cạnh \(AB\), \(AD\) sao cho \(AM = x\left( {0 \le x \le 1} \right)\), \(DN = y\left( {0 \le y \le 1} \right)\). Tìm mối liên hệ giữa \(x\) và \(y\) sao cho \(CM \bot BN\).

Trong tam giác \(ABC\) có

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {3\,;\,4} \right)\), \(B\left( {2\,;\,1} \right)\), \(C\left( { - 1\,;\, - 2} \right)\). Gọi \(M\left( {x\,;\,y} \right)\) là điểm trên đường thẳng \(BC\) sao cho \({S_{\Delta ABC}} = 4{S_{\Delta ABM}}\). Tính \(P = x.y\).