banner redirect homepage

Cho tứ diện (SABC ) và (G ) là trọng tâm của tứ diện, mặt phẳng quay quanh (AG ) và cắt các cạnh (SB, ,SC ) tương ứng tại (M, ,N ). Giá trị nhỏ nhất của tỉ số ((((V_(S.AMN))))(((V_(S.ABC)))) ) là


Câu 62735 Vận dụng cao

Cho tứ diện \(SABC\) và \(G\) là trọng tâm của tứ diện, mặt phẳng quay quanh \(AG\) và cắt các cạnh \(SB,\,SC\) tương ứng tại \(M,\,N\). Giá trị nhỏ nhất của tỉ số \(\dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}}\) là


Đáp án đúng: d

Phương pháp giải

+ Sử dụng tỉ số thể tích: Cho chóp tam giác \(S.ABC\) có \(M \in SA,N \in SB,P \in SC \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SA}}.\dfrac{{SN}}{{SB}}.\dfrac{{SP}}{{SC}}\)

+ Sử dụng tính chất: Cho tam giác \(ABC\) có trọng tâm \(G.\) Đường thẳng bất kì đi qua \(G\) cắt các cạnh \(AB,AC\) làn lượt tại \(M,N\). Khi đó ta có \(\dfrac{{AB}}{{AM}} + \dfrac{{AC}}{{AN}} = 3.\)

(Chứng minh tính chất trên như sau:

Qua B, C kẻ các đường thẳng song song với \(MN\) cắt đường thẳng \(AG\) tại \(K\) và \(I.\) Gọi \(D\) là trung điểm \(BC.\)

Theo định lý Ta-lét ta có \(\dfrac{{AB}}{{AM}} = \dfrac{{AI}}{{AG}};\dfrac{{AC}}{{AN}} = \dfrac{{AK}}{{AG}} \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AM}} + \dfrac{{AC}}{{AN}} = \dfrac{{AI}}{{AG}} + \dfrac{{AK}}{{AG}} = \dfrac{{AI + AK}}{{AG}}\) 

Mà \(\Delta IBD = \Delta KCD\left( {g - c - g} \right) \Rightarrow KD = ID\)

\( \Rightarrow AI + AK = AD + DI + AK = AD + KD + AK = AD + AD = 2AD = 2.\dfrac{3}{2}AG = 3AG\)

Do đó \(\dfrac{{AB}}{{AM}} + \dfrac{{AC}}{{AN}} = \dfrac{{AI + AK}}{{AG}} = \dfrac{{3AG}}{{AG}} = 3.\) )

+ Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị nhỏ nhất.

+ Lưu ý rằng trọng tâm tứ diện là giao của 4 đường thẳng nối đỉnh và trọng tâm tam giác đối diện.

Xem lời giải

...

Nhóm 2K5 ôn thi đánh giá năng lực 2023 miễn phí

facebook

Theo dõi Vừng ơi trên facebook

Đăng ký tư vấn


>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.