Vì \(x,y,z\) tỉ lệ với các số \(a,b,c\) nên \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c} = k\,\,\), suy ra \(x = ka;y = kb,z = kc\)

Thay \(x = ka;y = kb,z = kc\) vào \(\left( {{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}} \right)\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right)\) ta được

\(\left[ {{{\left( {ka} \right)}^2} + 2\left( {k{b^2}} \right) + 3{{\left( {kc} \right)}^2}} \right]\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right)\) \( = \left( {{k^2}{a^2} + 2{k^2}{b^2} + 3{k^2}{c^2}} \right)\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right)\)

\( = {k^2}\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right)\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right)\) \( = {k^2}{\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right)^2} = {\left[ {k\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right)} \right]^2}\)

\( = {\left( {k{a^2} + 2k{b^2} + 3k{c^2}} \right)^2}\) \( = {\left( {ka.a + 2.kb.b + 3.kc.c} \right)^2}\)

\( = {\left( {xa + 2yb + 3zc} \right)^2}\) do \(x = ka;y = kb,z = kc\)

Vậy \(\left( {{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}} \right)\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right) = {\left( {ax + 2by + 3cz} \right)^2}\)