Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz ), cho mặt cầu (( S ): , ,(x^2) + (y^2) + (z^2) - 8x + 2y + 2z - 3 = 0 ) và đường thẳng (Delta : , ,((x - 1))(3) = (y)(( - 2)) = ((z + 2))(( - 1)) ). Mặt phẳng (( alpha  ) ) vuông góc với (Delta ) và cắt (( S ) ) theo giao tuyến là đường tròn (( C ) ) có bán kính lớn nhất. Phương trình (( alpha  ) ) là:


Câu 87607 Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 2y + 2z - 3 = 0\) và đường thẳng \(\Delta :\,\,\dfrac{{x - 1}}{3} = \dfrac{y}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 1}}\). Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) vuông góc với \(\Delta \) và cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\) có bán kính lớn nhất. Phương trình \(\left( \alpha  \right)\) là:


Đáp án đúng: d

Phương pháp giải

- Vì \(\left( \alpha  \right) \bot \Delta \) nên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n  = \overrightarrow u \) với \(\overrightarrow u \) là 1 VTCP của đường thẳng \(\Delta \), từ đó suy ra dạng của phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\).

- Áp dụng định lí Pytago: \({R^2} = {r^2} + {d^2}\), với \(R\) là bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\), \(r\) là bán kính đường tròn \(\left( C \right)\), \(d = d\left( {I;\left( \alpha  \right)} \right)\) với \(I\) là tâm mặt cầu \(\left( S \right)\).

- Để \(r\) đạt GTLN thì \(d\) phải đạt GTNN. Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\) và tìm GTNN.

Xem lời giải

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.