Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\,\left( I \right)\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0;a{'^2} + b{'^2} \ne 0} \right)\)

- Mỗi cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình trong hệ được gọi là một nghiệm của hệ.

- Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.

Gọi \(d,d'\) lần lượt là các đường thẳng \(ax + by = c\) và \(a'x + b'y = c'\). Khi đó:

+) Hệ \(\left( I \right)\) có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow d,d'\) cắt nhau.

+) Hệ \(\left( I \right)\) vô nghiệm \( \Leftrightarrow d,d'\) song song.

+) Hệ \(\left( I \right)\) có vô số nghiệm \( \Leftrightarrow d,d'\) trùng nhau.

2. Giải và biện luận hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\,\left( I \right)\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0;a{'^2} + b{'^2} \ne 0} \right)\)

Phương pháp:

- Bước 1: Tính các giá trị:

 \(\begin{array}{l}D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}a\\a'\end{array}&\begin{array}{l}b\\b'\end{array}\end{array}} \right| = ab' - a'b\\{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}c\\c'\end{array}&\begin{array}{l}b\\b'\end{array}\end{array}} \right| = cb' - c'b\\{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}a\\a'\end{array}&\begin{array}{l}c\\c'\end{array}\end{array}} \right| = ac' - a'c\end{array}\)

- Bước 2: Biện luận nghiệm của hệ phương trình:

a) Nếu \(D \ne 0\) thì hệ có một nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\), trong đó: \(x = \dfrac{{{D_x}}}{D};y = \dfrac{{{D_y}}}{D}\)

b) Nếu \(D = 0\) và:

+) \({D_x} \ne 0\) hoặc \({D_y} \ne 0\) thì hệ vô nghiệm.

+) \({D_x} = {D_y} = 0\) thì hệ có vô số nghiệm, tập nghiệm của hệ là tập nghiệm của phương trình \(ax + by = c\)

- Bước 3: Kết luận

Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}mx + y = m + 1\\x + my = 2\end{array} \right.\)

- Bước 1: Tính:

\(\begin{array}{l}D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}m\\1\end{array}&\begin{array}{l}1\\m\end{array}\end{array}} \right| = {m^2} - 1 = \left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right)\\{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}m + 1\\2\end{array}&\begin{array}{l}1\\m\end{array}\end{array}} \right| = {m^2} + m - 2 = \left( {m - 1} \right)\left( {m + 2} \right)\\{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}m\\1\end{array}&\begin{array}{l}m + 1\\2\end{array}\end{array}} \right| = 2m - m - 1 = m - 1\end{array}\)

- Bước 2: Biện luận:

+) Nếu \(D \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  \pm 1\) thì hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\) với:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{{D_x}}}{D} = \dfrac{{\left( {m - 1} \right)\left( {m + 2} \right)}}{{\left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right)}} = \dfrac{{m + 2}}{{m + 1}}\\y = \dfrac{{{D_y}}}{D} = \dfrac{{m - 1}}{{\left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right)}} = \dfrac{1}{{m + 1}}\end{array} \right.\)

+) Nếu \(D = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 1\end{array} \right.\) thì:

TH1: \(m = 1\) thì \({D_x} = {D_y} = 0\), hệ trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\x + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x + y = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y = 2 - x\end{array} \right.\)

TH2: \(m =  - 1\) thì \({D_x} \ne 0\) nên hệ vô nghiệm.

- Bước 3: Kết luận:

+) Với \(m \ne  \pm 1\) thì hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\) là \(\left( {\dfrac{{m + 2}}{{m + 1}};\dfrac{1}{{m + 1}}} \right)\)

+) Với \(m = 1\) thì hệ có vô số nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y = 2 - x\end{array} \right.\)

+) Với \(m =  - 1\) thì hệ vô nghiệm.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!