Hệ thức lượng trong tam giác

1. Định lí côsin

Trong tam giác \(ABC\) với \(BC = a,\,\,AC = b\) và \(AB = c\). Ta có :

\(\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A\\{b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca.\cos B\\{c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C\end{array}\)

Hệ quả:

\(\begin{array}{l}\cos A = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\\\cos B = \dfrac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{2ca}}\\\cos C = \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\end{array}\)

2. Định lí sin

Trong tam giác \(ABC\) với \(BC = a,AC = b,AB = c\) và $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Ta có:

\(\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R\)

3. Độ dài trung tuyến

Cho tam giác \(ABC\) với \({m_a},\,\,{m_b},\,\,{m_c}\) lần lượt là các trung tuyến kẻ từ $A,B,C$. Ta có:

\(\begin{array}{l}m_a^2 = \dfrac{{2({b^2} + {c^2}) - {a^2}}}{4}\\m_b^2 = \dfrac{{2({a^2} + {c^2}) - {b^2}}}{4}\\m_c^2 = \dfrac{{2({a^2} + {b^2}) - {c^2}}}{4}\end{array}\)

4. Diện tích tam giác

Với tam giác \(ABC\) ta kí hiệu \({h_a},\,\,{h_b},\,\,{h_c}\) là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh$BC,CA,AB$. $R,r$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; \(p = \dfrac{{a + b + c}}{2}\) là nửa chu vi tam giác; $S$ là diện tích tam giác. Khi đó ta có:

\(S = \dfrac{1}{2}a{h_a} = \dfrac{1}{2}b{h_b} = \dfrac{1}{2}c{h_c}\)

\( = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2}ca\sin B = \dfrac{1}{2}ab\sin C\)       

\( = \dfrac{{abc}}{{4R}}\)

\( = pr\)

\( = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \)   (công thức Hê–rông)

Luyện bài tập vận dụng tại đây!