Khoảng cách và góc

1. Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng

${\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0$ có VTPT \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {{a_1};{b_1}} \right)\);

${\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0$ có VTPT \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {{a_2};{b_2}} \right)\).

Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$.

Khi đó

$\cos \alpha  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}.} \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \dfrac{{\left| {{a_1}.{a_2} + {b_1}.{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}$

2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ đến đường thẳng $\Delta :ax + by + c = 0$ được tính theo công thức

$d\left( {{M_0},\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$

Nhận xét. Cho hai đường thẳng ${\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0$ và ${\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0$ cắt nhau thì phương trình hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là:

$\dfrac{{{a_1}x + {b_1}y + {c_1}}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} }} =  \pm \dfrac{{{a_2}x + {b_2}y + {c_2}}}{{\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}$

Luyện bài tập vận dụng tại đây!