Cấp số nhân

1. Kiến thức cần nhớ

- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) (hữu hạn hoặc vô hạn) là cấp số nhân \( \Leftrightarrow {u_{n + 1}} = q.{u_n},\forall n \ge 1,n \in {N^*}\)

Ở đó, \(q\) được gọi là công bội của cấp số nhân.

- Tính chất:

+) \(u_k^2 = {u_{k - 1}}.{u_{k + 1}},\forall k \ge 2\)

+) Số hạng tổng quát: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},n \ge 2\).

+) Tổng \(n\) số hạng đầu: \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\).

+) Khi \(q = 0\) thì dãy là \({u_1};0;0;...;0;...\) và \({S_n} = {u_1}\)

+) Khi \(q = 1\) thì dãy có đạng \({u_1};{u_1};{u_1};...;{u_1};...\)và \({S_n} = n.{u_1}\)

+) Khi \({u_1} = 0\) thì với mọi \(q\), cấp số nhân có dạng \(0;0;0;...;0;...\)và \({S_n} = 0\)

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Nhận biết cấp số nhân

Phương pháp:

- Bước 1: Tính \(q = \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}},\forall n \ge 1\).

- Bước 2: Kết luận:

+ Nếu \(q\) là số không đổi thì dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân.

+ Nếu \(q\) thay đổi theo \(n\) thì dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) không là cấp số nhân.

Dạng 2: Tìm công bội của cấp số nhân.

Phương pháp:

Sử dụng các tính chất của cấp số nhân, biến đổi để tính công bội của cấp số nhân.

Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số nhân.

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},n \ge 2\)

Dạng 4: Tính tổng \(n\) số hạng đầu tiên của dãy.

Phương pháp:

Sử dụng công thức \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\)

Dạng 5: Tìm cấp số nhân

Phương pháp chung:

- Tìm các yếu tố xác định một cấp số nhân như: số hạng đầu \({u_1}\), công bội \(q\).

- Tìm công thức cho số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},n \ge 2\).

Luyện bài tập vận dụng tại đây!