1. Kiến thức cần nhớ

- Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ (hữu hạn hoặc vô hạn) là cấp số nhân $\Leftrightarrow {u_{n + 1}} = q.{u_n},\forall n \ge 1,n \in {N^*}$

Ở đó, $q$ được gọi là công bội của cấp số nhân.

+) Khi $q = 0$ thì dãy là ${u_1};0;0;...;0;...$ và ${S_n} = {u_1}$

+) Khi $q = 1$ thì dãy có đạng ${u_1};{u_1};{u_1};...;{u_1};...$và ${S_n} = n.{u_1}$

+) Khi ${u_1} = 0$ thì với mọi $q$, cấp số nhân có dạng $0;0;0;...;0;...$và ${S_n} = 0$

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Nhận biết cấp số nhân

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $q = \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}},\forall n \ge 1$.

- Bước 2: Kết luận:

+ Nếu $q$ là số không đổi thì dãy $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân.

+ Nếu $q$ thay đổi theo $n$ thì dãy $\left( {{u_n}} \right)$ không là cấp số nhân.

Dạng 2: Tìm công bội của cấp số nhân.

Phương pháp:

Sử dụng các tính chất của cấp số nhân, biến đổi để tính công bội của cấp số nhân.

Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số nhân.

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},n \ge 2$

Dạng 4: Tính tổng $n$ số hạng đầu tiên của dãy.

Phương pháp:

Sử dụng công thức ${S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}$

Dạng 5: Tìm cấp số nhân

Phương pháp chung:

- Tìm các yếu tố xác định một cấp số nhân như: số hạng đầu ${u_1}$, công bội $q$.

- Tìm công thức cho số hạng tổng quát ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},n \ge 2$.