Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp - Giải phương trình

1. Kiến thức cần nhớ

- Số các hoán vị của \(n\) phần tử:

\({P_n} = n!\)

- Số các chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phân tử:

\(A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}} \)

- Số các tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử:

\(C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} = \dfrac{{A_n^k}}{{k!}}\)

- Hai tính chất của \(C_n^k\):

Với \(k,n \in Z,0 \le k \le n\) thì:

+) \(C_n^k = C_n^{n - k}\)

+) \(C_{n + 1}^k = C_n^k + C_n^{k - 1}\)

Tính chất giai thừa:

Quy ước: \(0! = 1\)

\(n! = n.\left( {n - 1} \right)!\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\)

\(n! = n.\left( {n - 1} \right)...\left( {n - m + 1} \right).\left( {n - m} \right)!\) với \(n \ge m\),\(m,n \in {\mathbb{N}^*}\)

Khi rút gọn một tỉ sổ mà tử và mẫu đều chứa các giai thừa thì ta có thể làm như sau:

– Cách 1: Viết các giai thừa dưới dạng tích số từ 1 đến n rồi rút gọn các thừa số chung.

– Cách 2: Quan sát xem giai thừa nào lớn hơn, rồi giữ nguyên giai thừa bé và biểu diễn giai thừa lớn theo giai thừa bé để rút gọn.

Ví dụ: Giải phương trình \(\dfrac{{x! - \left( {x - 1} \right)!}}{{\left( {x + 1} \right)!}} = \dfrac{1}{6},x \in \mathbb{N}\)

Giải:

Điều kiện \(x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1 \Rightarrow x \in {\mathbb{N}^*}\)

Ta thấy \(x - 1\) bé nhất nên ta biểu diễn giai thừa còn lại theo \(\left( {x - 1} \right)!\), khi đó vế trái của phương trình trở thành:

\(\dfrac{{x! - \left( {x - 1} \right)!}}{{\left( {x + 1} \right)!}} = \dfrac{{\left( {x - 1} \right)!x - \left( {x - 1} \right)!}}{{\left( {x - 1} \right)!x\left( {x + 1} \right)}}\)\( = \dfrac{{\left( {x - 1} \right)!\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)!x\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{{x - 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\)

Phương trình đã cho tương đương với

\(\dfrac{{x - 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{1}{6} \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\left( {TM} \right)\\x = 3\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm $x=2,x=3$

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Giải phương trình, hệ phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Phương pháp chung:

- Sử dụng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi phương trình.

- Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận.

Dạng 2: Giải bất phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Phương pháp chung:

- Sử dụng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi bất phương trình.

- Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!