Dưới đây ta sẽ trình bày một số phương pháp tìm giới hạn các dãy số thường gặp:

Dạng 1: Tính giới hạn dãy đa thức

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt lũy thừa bậc cao nhất của $n$ ra làm nhân tử chung.

- Bước 2: Sử dụng quy tắc nhân các giới hạn để tính giới hạn.

Ví dụ: Tính giới hạn $\lim \left( {{n^3} - {n^2} + n - 1} \right)$.

Ta có: $\lim \left( {{n^3} - {n^2} + n - 1} \right) = \lim {n^3}\left( {1 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}} - \dfrac{1}{{{n^3}}}} \right) =  + \infty$

Dạng 2: Tính giới hạn dãy số hữu tỉ

Phương pháp:

- Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu.

- Bước 2: Tính các giới hạn của tử và mẫu rồi áp dụng quy tắc tính giới hạn của thương để tính giới hạn.

Ví dụ: Tính giới hạn $\lim \dfrac{{2n - 1}}{{n + 1}}$.

Ta có: $\lim \dfrac{{2n - 1}}{{n + 1}} = \lim \dfrac{{2 - \dfrac{1}{n}}}{{1 + \dfrac{1}{n}}} = \dfrac{2}{1} = 2$

Dạng 3: Giới hạn của dãy số chứa căn thức

Phương pháp:

- Bước 1: Xét xem sử dụng phương pháp ở dạng 1 có dùng được không.

+) Nếu được thì ta dùng phương pháp ở dạng 1.

+) Nếu không ta sẽ chuyển qua bước dưới đây:

- Bước 2: Nhân, chia với biểu thức liên hợp thích hợp và đưa về dạng 1.

Ví dụ: Tính giới hạn $\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n}  - n} \right)$.

Ta có:

$\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n}  - n} \right)=$ $\lim \dfrac{{\left( {\sqrt {{n^2} + 2n}  - n} \right)\left( {\sqrt {{n^2} + 2n}  + n} \right)}}{{\left( {\sqrt {{n^2} + 2n}  + n} \right)}}$ $= \lim \dfrac{{{n^2} + 2n - {n^2}}}{{\left( {\sqrt {{n^2} + 2n}  + n} \right)}}$ $= \lim \dfrac{{2n}}{{\sqrt {{n^2} + 2n}  + n}}$ $= \lim \dfrac{2}{{\sqrt {1 + \dfrac{2}{n}}  + 1}} = \dfrac{2}{{1 + 1}} = 1$

Dạng 4: Dãy số chứa lũy thừa, mũ

Phương pháp:

- Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa với cơ số lớn nhất.

- Bước 2: Sử dụng nhận xét $\lim {q^n} = 0$ với $\left| q \right| < 1$.

Ví dụ: $\lim \dfrac{{{2^n} + {5^n}}}{{{{2.3}^n} + {{3.5}^n}}} = \lim \dfrac{{{{\left( {\dfrac{2}{5}} \right)}^n} + 1}}{{2.{{\left( {\dfrac{3}{5}} \right)}^n} + 3.1}} = \dfrac{{0 + 1}}{{2.0 + 3}} = \dfrac{1}{3}$

Dạng 5: Tính giới hạn bằng chứng minh hoặc dùng định nghĩa

Phương pháp:

Sử dụng định lý kẹp: Cho ba dãy số $\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right),\left( {{w_n}} \right)$.

Nếu ${u_n} < {v_n} < {w_n},\forall n$ và $\lim {u_n} = \lim {w_n} = L \Rightarrow \lim {v_n} = L$.

Ta thường sử dụng phương pháp này cho việc tính giới hạn các dãy số có chứa $\sin ,\cos$.

Ví dụ: Tính $\lim \dfrac{{\sin 3n}}{n}$.

Ta có: $- 1 \le \sin 3n \le 1 \Rightarrow \dfrac{{ - 1}}{n} \le \dfrac{{\sin 3n}}{n} \le \dfrac{1}{n}$

Mà $\lim \left( { - \dfrac{1}{n}} \right) = 0;\lim \left( {\dfrac{1}{n}} \right) = 0$  nên $\lim \dfrac{{\sin 3n}}{n} = 0$.