Nhị thức Niu - tơn

1. Kiến thức cần nhớ

- Công thức nhị thức Niu-tơn:

\({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}}  \) \(= C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)

- Quy ước: \({a^0} = {b^0} = 1\)

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm hệ số của \({x^k}\) trong khai triển

Phương pháp chung:

- Sử dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn.

- Tìm số hạng có chứa \({x^k}\) và tìm hệ số tương ứng.

Ví dụ 1: Tìm hệ số của \({x^3}\) trong khai triển \({\left( {2 + x} \right)^5}\)

Giải:

Ta có: \({\left( {2 + x} \right)^5} = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k{2^{5 - k}}{x^k}} \)

Cho \(k = 3\) ta được hệ số của \({x^3}\) là \(C_5^3{.2^{5 - 3}} = 40\)

Dạng 2: Tính tổng, chứng minh đẳng thức.

Phương pháp chung:

- Sử dụng khai triển

\({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)

- Bằng cách thay \(a,b,n\) bằng các giá trị thích hợp ta sẽ được các đẳng thức.

Ví dụ 2: Chứng minh \(C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n = {2^n}\)

Giải:

Ta có: \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} \)

Quan sát tổng vế trái ta thấy chỉ xuất hiện các \(C_n^k\) nên cho \(a = 1,b = 1\) ta được:

\({\left( {1 + 1} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{1^{n - k}}{1^k}}  = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} \)\( = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n\)

Suy ra điều phải chứng minh.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!