Ôn tập chương phép biến hình

1. Phép biến hình

- Điểm \(M'\) gọi là ảnh của điểm \(M\) qua phép biến hình \(F\) , hay \(M\) là điểm tạo ảnh của điểm \(M'\), kí hiệu \(M' = f\left( M \right)\)

- Nếu \(\left( H \right)\) là một hình nào đó thì \(\left( {H'} \right)\) gồm các điểm \(M'\) là ảnh của \(M \in {\rm H}\) được gọi là ảnh của \(\left( {\rm H} \right)\) qua phép biến hình \(F\) .

- Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.

2. Phép tịnh tiến

a. Định nghĩa

\({T_{\overrightarrow v }}(M) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {MM'}  = \overrightarrow v \)

b. Tính chất

- Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm \(M,N\) thành hai điểm \(M',N'\) thì \(\overrightarrow {M'N'}  = \overrightarrow {MN} \) , từ đó suy ra \(M'N' = MN\)

- Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.

- Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một tam giác bằng nó, đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

c. Biểu thức tọa độ

Trong mặt phẳng tọa độ $\left( {Oxy} \right)$ cho vectơ \(\overrightarrow v  = \left( {a;b} \right),M\left( {x;y} \right)\).

Khi đó phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v :{T_{\overrightarrow v }}(M) = M'\left( {x';y'} \right)\) có biểu thức tọa độ: \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right.\)

3. Phép đối xứng trục

a. Định nghĩa

Phép đối xứng qua một đường thẳng \(a\) là phép biến hình biến điểm \(M\) thành điểm \(M'\) đối xứng với \(M\) qua đường thẳng \(a\). Kí hiệu : ${D_a}$ (\(a\)là trục đối xứng)

b. Tính chất

+) \({D_a}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {{M_0}M'}  =  - \overrightarrow {{M_0}M} \) với \({M_0}\) là hình chiếu của \(M\) trên \(a\).

+) \({D_a}\left( M \right) = M \Leftrightarrow M \in a\)

+) \({D_a}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow {D_a}\left( {M'} \right) = M\), \(a\) là trung trực của đoạn \(MM'\).

- Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.

- Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

- Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.

c. Biểu thức tọa độ

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\): \({D_a}:M\left( {x;y} \right) \to M'\left( {x';y'} \right)\)

- Nếu \(a \equiv Ox \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x'\\y =  - y'\end{array} \right.\)

- Nếu \(a \equiv Oy \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - x'\\y = y'\end{array} \right.\)

4. Phép đối xứng tâm

a. Định nghĩa

Cho điểm \(I\). Phép biến hình biến điểm \(I\) thành chính nó, biến mỗi điểm \(M\) khác \(I\) thành \(M'\) sao cho \(I\) là trung điểm \(MM'\) được gọi là phép đối xứng tâm \(I\). Kí hiệu: \({D_I}\) (\(I\) là tâm đối xứng)

\({D_I}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {IM'}  =  - \overrightarrow {IM} \)

b. Tính chất

- Nếu \({D_I}\left( M \right) = M'\) và \({D_I}\left( N \right) = N'\) thì \(\overrightarrow {M'N'}  =  - \overrightarrow {MN} \) , từ đó suy ra \(M'N' = MN\)

- Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nóm biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

- Phép đối xứng tâm biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.

- Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

c. Biểu thức tọa độ

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \({I_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\), gọi \(M\left( {x;y} \right)\) và \(M'\left( {x';y'} \right)\) với \({D_I}\left( M \right) = M' \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 2{x_0} - x\\y' = 2{y_0} - y\end{array} \right.\)

5. Phép quay

a. Định nghĩa

Trong mặt phẳng cho điểm $O$ cố định và góc lượng giác $\alpha $ không đổi. Phép biến hình biến mỗi điểm \(M\)

thành điểm $M'$ sao cho $OM = OM'$ và $\left( {OM,OM'} \right) = \alpha $ được gọi là phép quay tâm $O$ góc quay $\alpha $.

Kí hiệu: ${Q_{\left( {O,\alpha } \right)}}$($O$ là tâm phép quay, $\alpha $ là góc quay lượng giác).

${Q_{\left( {O,\alpha } \right)}}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}OM = OM'\\\left( {OM,OM'} \right) = \alpha \end{array} \right.$

b. Tính chất

- Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác (chiều kim đồng hồ).

- Với $k \in \mathbb{Z}$ ta luôn có: ${Q_{\left( {O,2k\pi } \right)}}$ là phép đồng nhất; ${Q_{\left( {O,\left( {2k + 1} \right)\pi } \right)}}$ là phép đối xứng tâm.

- Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

- Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

- Phép quay biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự.

c. Biểu thức tọa độ

$\left\{ \begin{array}{l}x' - {x_0} = \left( {x - {x_0}} \right)\cos \varphi  - \left( {y - {y_0}} \right)\sin \varphi \\y' - {y_0} = \left( {x - {x_0}} \right)\sin \varphi  + \left( {y - {y_0}} \right)\cos \varphi \end{array} \right.$

Đặc biệt:

+) $\varphi  = 90^\circ  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' =  - y\\y' = x\end{array} \right.$

+) Nếu $\varphi  =  - 90^\circ  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = y\\y' =  - x\end{array} \right.$

+) Nếu $\varphi  = 180^\circ  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' =  - x\\y' =  - y\end{array} \right.$

6. Phép vị tự

a. Định nghĩa

Cho điểm $O$ cố định và số $k \ne 0$ không đổi. Phép biến hình biến mỗi điểm $M$ thành điểm \(M'\) sao cho \(\overrightarrow {OM'}  = k\overrightarrow {OM} \) được gọi là phép vị tự tâm $O,$ tỉ số $k.$

Kí hiệu: \({V_{\left( {O,k} \right)}}\) ($O$ là tâm vị tự, $k$ là tỉ số vị tự)

\({V_{\left( {o,k} \right)}}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {OM'}  = k\overrightarrow {OM} \)

b. Tính chất

- Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm $M, N$ tùy ý theo thứ tự thành \(M',\,N'\) thì

\(\overrightarrow {M'N'}  = k\overrightarrow {MN} \) và \(M'N' = \left| k \right|MN\).

- Phép vị tự tỉ số $k:$

+ Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa chúng.

+ Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

+ Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó.

+ Biến đường tròn bán kính ${\rm{R}}$ thành đường tròn có bán kính $\left| k \right|.R$

c. Biểu thức tọa độ

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho phép vị tự ${V_{\left( {I,k} \right)}}$ tâm $I\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ biến điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thành \(M'\left( {x';y'} \right)\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x' = kx + \left( {1 - k} \right){x_0}\\y' = ky + \left( {1 - k} \right){y_0}\end{array} \right.\)

7. Phép đồng dạng

a. Định nghĩa

Một phép biến hình \(F\) được gọi là phép đồng dạng tỉ số \(k\,\,\,\left( {k > 0} \right)\) nếu với hai điểm bất kỳ \(M,N\) và ảnh \(M',N'\) tương ứng của chúng ta luôn có \(M'N' = kMN.\)

Nhận xét:

- Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số \(k = 1\).

- Phép vị tự tỉ số \(k\) là phép đồng dạng tỉ số \(\left| k \right|\).

- Nếu thực hiện liên tiếp hai phép đồng dạng thì ta được một phép đồng dạng.

b. Tính chất

- Phép đồng dạng tỉ số \(k\):

+ Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toán thứ tự giữa chúng.

+ Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

+ Biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho, biến góc thành góc bằng nó.

+ Biến một đường tròn bán kính \(R\) thành đường tròn bán kính \(\left| k \right|.R\).

8. Phép dời hình và hai hình bằng nhau

- Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.

- Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.