Phương pháp quy nạp toán học

1. Kiến thức cần nhớ

Bài toán:

Gọi \(P\left( n \right)\) là một mệnh đề chứa biến \(n\left( {n \in {N^*}} \right)\). Chứng minh \(P\left( n \right)\) đúng với mọi số tự nhiên \(n \in {N^*}\).

Phương pháp quy nạp toán học:

- Bước 1: Chứng minh \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = 1\).

- Bước 2: Với \(k\) là một số nguyên dương tùy ý, giả sử \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = k \ge 1\), chứng minh \(P\left( n \right)\) cũng đúng khi \(n = k + 1\).

Đối với bài toán chứng minh \(P\left( n \right)\) đúng với mọi \(n \ge p\) với \(p\) là số tự nhiên cho trước thì:

- Bước 1: Chứng minh \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = p\).

- Bước 2: Với \(k \ge p\) là một số nguyên dương tùy ý, giả sử \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = k\), chứng minh \(P\left( n \right)\) cũng đúng khi \(n = k + 1\).

Ví dụ: Chứng minh \({n^7} - n\) chia hết cho \(7\) với mọi \(n \in {N^*}\).

Giải:

Đặt \(P\left( n \right) = {n^7} - n\).

- Với \(n = 1\) thì \(P\left( 1 \right) = {1^7} - 1 = 0 \vdots 7\) nên \(P\left( 1 \right)\) đúng.

- Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k \in {N^*}\), tức là \(P\left( k \right) = \left( {{k^7} - k} \right) \vdots 7\).

Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1\), tức là: \(P\left( {k + 1} \right) = {\left( {k + 1} \right)^7} - \left( {k + 1} \right) \vdots 7\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {k + 1} \right)^7} - \left( {k + 1} \right) = C_7^0.{k^7} + C_7^1.{k^6} + C_7^2.{k^5} + C_7^3.{k^4} + C_7^4.{k^3} + C_7^5.{k^2} + C_7^6.k + C_7^7 - \left( {k + 1} \right)\\ = {k^7} + 7{k^6} + 21{k^5} + 35{k^4} + 35{k^3} + 21{k^2} + 7k + 1 - k - 1 = \left( {{k^7} - k} \right) + 7\left( {{k^6} + 3{k^5} + 5{k^4} + 5{k^3} + 3{k^2} + k} \right)\end{array}\)

Do \({k^7} - k \vdots 7\) và \(7\left( {{k^6} + 3{k^5} + 5{k^4} + 5{k^3} + 3{k^2} + k} \right) \vdots 7\) nên \(P\left( {k + 1} \right) = {\left( {k + 1} \right)^7} - \left( {k + 1} \right) \vdots 7\).

Vậy mệnh đề đã cho đúng.

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Chứng minh mệnh đề.

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học đã nêu ở trên.

Dạng 2: Tìm công thức tổng quát cho tổng dãy số.

Phương pháp:

- Bước 1: Dự đoán công thức tổng quát cho tổng dãy số.

- Bước 2: Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức vừa dự đoán.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!