Vi phân và đạo hàm cấp cao

1. Vi phân

\(df\left( x \right) = f'\left( x \right)dx\) hoặc \(dy = y'dx\)

2. Đạo hàm cấp cao

Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\).

+ Nếu hàm số \(f'\left( x \right)\) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số \(f\left( x \right)\), kí hiệu là \(f''\left( x \right)\).

Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai:

Xét một chất điểm chuyển động có phương trình là: \(S = s\left( t \right)\).

Khi đó, vận tốc của chất điểm tại thời điểm \({t_0}\) là: \(v\left( {{t_0}} \right) = S'\left( {{t_0}} \right)\)

Gia tốc của chất điểm tại thời điểm \({t_0}\) là: \(a\left( {{t_0}} \right) = S''\left( {{t_0}} \right)\)

+ Đạo hàm cấp \(n\left( {n \in N,n \ge 2} \right)\) của hàm số \(y = f\left( x \right)\), kí hiệu là \({f^{\left( n \right)}}\left( x \right)\) hay \({y^{\left( n \right)}}\) là đạo hàm cấp một của hàm số \({f^{\left( {n - 1} \right)}}\left( x \right)\), tức là \({f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = \left[ {{f^{\left( {n - 1} \right)}}\left( x \right)} \right]'\)

Đạo hàm cấp cao của một số hàm cơ bản

+) \({\left( {\sin x} \right)^{\left( n \right)}} = \sin \left( {x + \dfrac{{n\pi }}{2}} \right)\)

+) \({\left( {\cos x} \right)^{\left( n \right)}} = \cos \left( {x + \dfrac{{n\pi }}{2}} \right)\)

+) Nếu $n \le m$ thì $\left( {{x^m}} \right)^{\left( n \right)} =m\left( {m - 1} \right)...\left( {m - n + 1} \right).{x^{m - n}}$

+) Nếu $n>m$ thì ${\left( {{x^m}} \right)^{\left( n \right)}} =0$.

$\begin{array}{l}
+ )y = \sin \left( {ax + b} \right)\\
\Rightarrow {y^{\left( n \right)}} = {a^n}\sin \left( {ax + b + \frac{{n\pi }}{2}} \right)\\
+ )y = \cos \left( {ax + b} \right)\\
\Rightarrow {y^{\left( n \right)}} = {a^n}\cos \left( {ax + b + \frac{{n\pi }}{2}} \right)\\
+ )y = \frac{1}{{ax + b}}\\
\Rightarrow {y^{\left( n \right)}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!.{a^n}}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}\\
+ )y = \sqrt[m]{{ax + b}}\\
\Rightarrow {y^{\left( n \right)}} = \frac{1}{m}.\left( {\frac{1}{m} - 1} \right)...\left( {\frac{1}{m} - n + 1} \right).{a^n}.{\left( {ax + b} \right)^{\frac{1}{m} - n}}
\end{array}$

Luyện bài tập vận dụng tại đây!