Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai

1. Kiến thức cần nhớ

a) Căn bậc hai của số phức.

- Số phức \(w = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\) là căn bậc hai của số phức \(z = a + bi\) nếu \({w^2} = z\).

- Mọi số phức \(z \ne 0\) đều có hai căn bậc hai là hai số đối nhau \(w\) và \( - w\)

- Số thực \(a > 0\) có hai căn bậc hai là \( \pm \sqrt a \); số thực \(a < 0\) có hai căn bậc hai là \( \pm i\sqrt {\left| a \right|} \).

b) Phương trình bậc hai (Đọc thêm).

Xét phương trình bậc hai tổng quát: \(A{z^2} + Bz + C = 0\left( {A \ne 0} \right)\).

- Biệt thức \(\Delta  = {B^2} - 4AC\).

+ Nếu \(\Delta  = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({z_{1,2}} =  - \dfrac{B}{{2A}}\)

+ Nếu \(\Delta  \ne 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \({z_{1,2}} = \dfrac{{ - B \pm \sqrt \Delta  }}{{2A}}\) (ở đó \(\sqrt \Delta  \) là kí hiệu căn bậc hai của số phức \(\Delta \))

- Hệ thức Vi-et: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} =  - \dfrac{B}{A}\\{z_1}{z_2} = \dfrac{C}{A}\end{array} \right.\)

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm căn bậc hai của số phức.

Phương pháp:

Cách 1: Biến đổi \(z = a + bi\) dưới dạng bình phương của số phức khác.

Cách 2: Giả sử \(w = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\) là một căn bậc hai của \(z\), khi đó \({w^2} = z \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = a\\2xy = b\end{array} \right.\)

Ví dụ: Tìm căn bậc hai của số phức \(z = 8 + 6i\).

Giải:

Cách 1:

Ta có: \(z = 8 + 6i = 9 + 6i - 1 = {3^2} + 2.3i + {i^2} = {\left( {3 + i} \right)^2}\)

Do đó các căn bậc hai của số phức \(z\) là \(3 + i\) và \( - 3 - i\).

Cách 2:

Giả sử \(w = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\) là một căn bậc hai của số phức \(z = 8 + 6i\)

Khi đó \({w^2} = z \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = 8\\2xy = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{3}{x}\\{x^2} - \dfrac{9}{{{x^2}}} = 8\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{3}{x}\\{x^4} - 8{x^2} - 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{3}{x}\\\left[ \begin{array}{l}{x^2} =  - 1(L)\\{x^2} = 9(TM)\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3,y = 1\\x =  - 3,y =  - 1\end{array} \right.\)

Vậy có hai căn bậc hai của số phức \(z = 8 + 6i\) là \(3 + i\) và \( - 3 - i\).

Dạng 2: Giải phương trình bậc hai.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính \(\Delta  = {B^2} - 4AC\).

- Bước 2: Tìm các căn bậc hai của \(\Delta \)

- Bước 3: Tính các nghiệm:

+ Nếu \(\Delta  = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({z_{1,2}} =  - \dfrac{B}{{2A}}\)

+ Nếu \(\Delta  \ne 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \({z_{1,2}} = \dfrac{{ - B \pm \sqrt \Delta  }}{{2A}}\) (ở đó \(\sqrt \Delta  \) là kí hiệu căn bậc hai của số phức \(\Delta \))

Ví dụ: Tìm tập nghiệm của phương trình \({z^2} + z + 1 = 0\).

Giải:

Ta có: \(\Delta  = {1^2} - 4.1.1 =  - 3\), các căn bậc hai của \( - 3\) là \(i\sqrt 3 \) và \( - i\sqrt 3 \)

Do đó phương trình có nghiệm \({z_1} = \dfrac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{2}\) và \({z_2} = \dfrac{{ - 1 - i\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy tập nghiệm của phương trình \(S = \left\{ {\dfrac{{ - 1 - i\sqrt 3 }}{2};\dfrac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{2}} \right\}\)

Dạng 3 (Đọc thêm): Sử dụng Vi-et để giải bài toán liên quan đến hai nghiệm của phương trình bậc hai.

Phương pháp:

- Bước 1: Nêu định lý vi-et.

- Bước 2: Biểu diễn biểu thức cần tính giá trị để làm xuất hiện tổng và tích hai nghiệm.

- Bước 3: Thay các giá trị tổng và tích vào biểu thức để tính giá trị.

Dạng 4 (Đọc thêm): Giải phương trình bậc cao.

Phương pháp:

Sử dụng các phép biến đổi (phân tích thành nhân tử, đặt ẩn phụ,…) đưa phương trình bậc cao về các phương trình bậc nhất, bậc hai,…để giải phương trình.

Ví dụ: Giải phương trình \({z^4} + 1 = 0\).

Giải:

Ta có: \({z^4} + 1 = 0 \Leftrightarrow {z^4} - {i^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {{z^2} - i} \right)\left( {{z^2} + i} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} = i\left( 1 \right)\\{z^2} =  - i\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Giải (1): Ta tìm căn bậc hai của số phức \(z' = i\).

Gọi \(w = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\) là một căn bậc hai của số phức \(z' = i\). Khi đó:

\({w^2} = i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = 0\\2xy = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = y\\2{x^2} = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x =  - y\\ - 2{y^2} = 1(L)\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\x = y =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right. \\ \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i\\z =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i\end{array} \right.\)

Giải (2): Ta tìm căn bậc hai của số phức \(z' =  - i\)

Vì \(z' =  - i = {i^2}.i\) nên các căn bậc hai của \(z'\) là \(i.\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i} \right) =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i\) và \(i\left( { - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i\)

Vậy phương trình có các nghiệm \({z_1} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i;{z_2} =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i;{z_3} =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i;{z_4} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i\).

Luyện bài tập vận dụng tại đây!