Dạng lượng giác của số phức

1. Kiến thức cần nhớ

a) Định nghĩa Acgumen của số phức.

- Điểm \(M \ne O\) biểu diễn số phức \(z = a + bi\left( {a,b \in R} \right)\) thì số đo mỗi góc lượng giác tia đầu là \(Ox\) và tia cuối \(OM\) được gọi là acgumen của số phức \(z\).

- Nếu \(\alpha \) là một acgumen của \(z\) thì \(\alpha  + k2\pi \) cũng là một acgumen của \(z\) với mỗi \(k \in Z\).

b) Khái niệm về dạng lượng giác của số phức

- Số phức \(z = a + bi\) là dạng đại số của \(z\).

- Số phức \(z = r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)\) là dạng lượng giác của \(z\), ở đó:

+ \(r\) là mô đun của số phức.

+ \(\varphi \) là acgumen của số phức.

c) Các phép toán với số phức dạng lượng giác:

Cho hai số phức \({z_1} = {r_1}\left( {\cos {\varphi _1} + i\sin {\varphi _1}} \right),{z_2} = {r_2}\left( {\cos {\varphi _2} + i\sin {\varphi _2}} \right)\). Khi đó:

\(\begin{array}{l}{z_1} \pm {z_2} = {r_1}\left( {\cos {\varphi _1} + i\sin {\varphi _1}} \right) \pm {r_2}\left( {\cos {\varphi _2} + i\sin {\varphi _2}} \right) \\ = \left( {{r_1}\cos {\varphi _1} \pm {r_2}\cos {\varphi _2}} \right) + i\left( {{r_1}\sin {\varphi _1} \pm {r_2}\sin {\varphi _2}} \right)\\{z_1}.{z_2} = {r_1}\left( {\cos {\varphi _1} + i\sin {\varphi _1}} \right).{r_2}\left( {\cos {\varphi _2} + i\sin {\varphi _2}} \right) \\ = {r_1}{r_2}\left[ {\cos \left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right) + i\sin \left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right)} \right]\\\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \dfrac{{{r_1}\left( {\cos {\varphi _1} + i\sin {\varphi _1}} \right)}}{{{r_2}\left( {\cos {\varphi _2} + i\sin {\varphi _2}} \right)}} = \dfrac{{{r_1}}}{{{r_2}}}\left[ {\cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right) + i\sin \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)} \right]\end{array}\)

d) Công thức Moivre:

Cho số phức \(z = r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)\). Khi đó:

\({z^n} = {\left[ {r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)} \right]^n} = {r^n}\left( {\cos n\varphi  + i\sin n\varphi } \right)\)

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Chuyển số phức từ dạng đại số sang dạng lượng giác.

Cho số phức \(z = a + bi\), viết \(z\) dưới dạng \(z = r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)\)

Phương pháp:

- Bước 1: Tính \(r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

- Bước 2: Tính \(\varphi \) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}\cos \varphi  = \dfrac{a}{r}\\\sin \varphi  = \dfrac{b}{r}\end{array} \right.\)

Dạng 2: Tính giá trị, rút gọn biểu thức.

Phương pháp:

Sử dụng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia số phức, công thức Moivre để tính giá trị và rút gọn các biểu thức.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!