Hàm số lũy thừa

1. Các kiến thức cần nhớ

Định nghĩa:

- Hàm số lũy thừa là hàm số có dạng \(y = {x^\alpha }\left( {\alpha  \in R} \right)\).

- Tập xác định:

+ \(\alpha \) nguyên dương: \(D = R\).

+ \(\alpha \) nguyên âm hoặc \(\alpha  = 0\): \(D = R\backslash \left\{ 0 \right\}\).

+ \(\alpha \) không nguyên: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\).

Chú ý:

\(\sqrt[n]{x} = {x^{\frac{1}{n}}} \Leftrightarrow x > 0\). Ngoài ra hai hàm số \(y = \sqrt[n]{x}\) và \(y = {x^{\frac{1}{n}}}\left( {n \in {N^*}} \right)\) là không đồng nhất vì có tập xác định khác nhau.

Đạo hàm:

\(\left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha {x^{\alpha  - 1}};{u^\alpha }\left( x \right)' = \alpha u'\left( x \right){u^{\alpha  - 1}}\left( x \right)\)

\(\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = \dfrac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}};\left( {\sqrt[n]{{u\left( x \right)}}} \right)' = \dfrac{{u'\left( x \right)}}{{n\sqrt[n]{{{u^{n - 1}}\left( x \right)}}}}\)

+ Nếu \(x > 0\) thì \(\sqrt[n]{x} = {x^{\frac{1}{n}}}\) nên \(\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = ({x^{\frac{1}{n}}})' = \dfrac{1}{n}{x^{ - \frac{n - 1}{n}}} = \dfrac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}}\)

+ Nếu \(x \le 0\) thì đẳng thức trên không xảy ra.

Khảo sát hàm số \(y = {x^\alpha }\left( {\alpha  \ne 0} \right)\) trên tập \(\left( {0; + \infty } \right)\).

- Đồ thị:

Luôn đi qua điểm \(\left( {1;1} \right)\)

- Trên đây ta chỉ xét chung các hàm số trên tập \(\left( {0; + \infty } \right)\). Thực tế tập xác định của mỗi hàm số là khác nhau phụ thuộc vào điều kiện của \(\alpha \).

- Tránh nhầm lẫn tập \(\left( {0; + \infty } \right)\) là tập xác định cho mọi hàm số lũy thừa.

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Phương pháp:

- Bước 1: Xác định số mũ \(\alpha \) của hàm số.

- Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số xác định.

+ \(\alpha \) nguyên dương: \(D = R\).

+ \(\alpha \) nguyên âm hoặc \(\alpha  = 0\): \(D = R\backslash \left\{ 0 \right\}\).

+ \(\alpha \) không nguyên: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\).

- Bước 3: Giải các bất phương trình ở trên để tìm tập xác định của hàm số.

Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số.

Phương pháp:

- Bước 1: Áp dụng các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương để tính đạo hàm hàm số đã cho.

\(\left( {u \pm v} \right)' = u' \pm v';\left( {uv} \right)' = u'v + uv';\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)

- Bước 2: Tính đạo hàm các hàm số thành phần dựa vào công thức tính đạo hàm các hàm số cơ bản: hàm đa thức, phân thức, hàm mũ, logarit, lũy thừa,…

- Bước 3: Tính toán và kết luận.

Dạng 3: Tìm mỗi quan hệ của các số mũ của các hàm số lũy thừa khi biết đồ thị của chúng.

Phương pháp:

Quan sát đồ thị hàm số và nhận xét tính đồng biến, nghịch biến và các điểm đi qua để suy ra tính chất của các số mũ.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!