Nguyên hàm

1. Kiến thức cần nhớ

+ Định nghĩa: \(\int {f(x)dx = F(x) + C \Leftrightarrow F'(x) = f(x)} \)

+ Tính chất:

1/ \(\int {f'(x)dx = f(x) + C} \)

2/\(\int {kf(x)dx = k\int {f(x)dx} } \) với \(\forall k \ne 0\).

3/ \(\int {\left[ {f(x) \pm g(x)} \right]dx = } \int {f(x)dx}  \pm \int {g(x)dx} \)

+ Sự tồn tại nguyên hàm của hàm số liên tục:

Định lí: Mọi hàm số $f(x)$ liên tục trên $K$ đều có nguyên hàm trên $K$.

+ Nguyên hàm có tập xác định gồm hai hay nhiều khoảng:

Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ và có tập xác định gồm hai hay nhiều khoảng, thì có thể chọn những hằng số khác nhau trên mỗi khoảng. Ví dụ:

\(F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{1}{x} + {C_1}\,khi\,x < 0\\ - \dfrac{1}{x} + {C_2}\,khi\,x > 0\end{array} \right.\)

Đây là nguyên hàm tổng quát nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^2}}}\) trên tập xác định \(\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\) của nó.

+ Bảng nguyên hàm:

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm nguyên hàm của hàm số.

Phương pháp:

- Bước 1: Phân tích \(f\left( x \right)\) thành tổng (hiệu) các hàm số sơ cấp có nguyên hàm đã biết.

- Bước 2: Sử dụng định nghĩa, tính chất, bảng nguyên hàm,…để tìm nguyên hàm các hàm số.

Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}}\).

Giải:

Ta có: \(f\left( x \right) = \dfrac{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}} = \dfrac{{{x^4} - 2{x^2} + 1}}{{{x^2}}} \) \(= {x^2} - 2 + \dfrac{1}{{{x^2}}}\)

Do đó \(F\left( x \right) = \int {\left( {{x^2} - 2 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)dx}  \) \(= \int {{x^2}dx}  - 2\int {dx}  + \int {\dfrac{1}{{{x^2}}}dx}  \) \(= \dfrac{{{x^3}}}{3} - 2x - \dfrac{1}{x} + C\).

Dạng 2: Tìm hàm số cho biết đạo hàm và giá trị của hàm số tại một điểm.

- Bước 1: Tìm nguyên hàm của hàm số đã cho, sử dụng định nghĩa, tính chất, bảng nguyên hàm,…

- Bước 2: Thay giá trị đề bài cho vào và tìm hằng số \(C\) suy ra hàm số cần tìm.

Ví dụ: Tìm hàm số \(F\left( x \right)\) biết \(F'\left( x \right) = \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt[3]{x}}}\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và \(F\left( 1 \right) = 3\).

Giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}F'\left( x \right) = \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt[3]{x}}} = \left( {x - 1} \right){x^{ - \frac{1}{3}}} = {x^{\frac{2}{3}}} - {x^{ - \frac{1}{3}}}\\ \Rightarrow F\left( x \right) = \int {F'\left( x \right)dx}  = \int {\left( {{x^{\frac{2}{3}}} - {x^{ - \frac{1}{3}}}} \right)dx} \end{array}\)

$  = \dfrac{{{x^{\frac{2}{3} + 1}}}}{{\dfrac{2}{3} + 1}} - \dfrac{{{x^{ - \frac{1}{3} + 1}}}}{{ - \dfrac{1}{3} + 1}} + C = \dfrac{3}{5}{x^{\frac{5}{3}}} - \dfrac{3}{2}{x^{\frac{2}{3}}} + C$

Lại có \(F\left( 1 \right) = 3\) nên \(\dfrac{3}{5}{.1^{\frac{5}{3}}} - \dfrac{3}{2}{.1^{\frac{2}{3}}} + C = 3 \Leftrightarrow C = \dfrac{{39}}{{10}}\).

Vậy \(F\left( x \right) = \dfrac{3}{5}{x^{\frac{5}{3}}} - \dfrac{3}{2}{x^{\frac{2}{3}}} + \dfrac{{39}}{{10}}\).

Luyện bài tập vận dụng tại đây!