Khối đa diện đều. Phép vị tự

1. Phép vị tự

- Định nghĩa: Cho số \(k \ne 0\) không đổi và một điểm \(O\) cố định. Phép biến hình trong không gian biến điểm \(M\) thành \(M'\) sao cho \(\overrightarrow {OM'}  = k\overrightarrow {OM} \) được gọi là phép vị tự. Điểm \(O\) gọi là tâm vị tự, số \(k\) gọi là tỉ số vị tự.

- Tính chất:

+ Nếu phép vị tỉ số \(k\) biến hai điểm \(M,N\) thành hai điểm \(M'N'\) thì \(\overrightarrow {M'N'}  = k\overrightarrow {MN} \) và \(M'N' = \left| k \right|MN\)

+ Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng, bốn điểm đồng phẳng thành bốn điểm đồng phẳng, đường thẳng thành đường thẳng, mặt phẳng thành mặt phẳng,…

+ Nếu tỉ số vị tự \(k =  \pm 1\) thì nó là phép dời hình.

- Hai hình đồng dạng nếu tồn tại một phép vị tự biến hình này thành hình kia.

2. Khối đa diện đều

- Định nghĩa: Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất:

+ Các mặt là những đa giác đều và có cùng số cạnh.

+ Mỗi đỉnh là đỉnh chung của cùng số cạnh.

- Khối đa diện đều loại \(\left\{ {n;p} \right\}\)

+ \(n\) là số cạnh của mỗi mặt.

+ \(p\) là số cạnh cùng đi qua một đỉnh.

- Chỉ có \(5\) loại khối đa diện đều, đó các loại \(\left\{ {3;3} \right\},\left\{ {4;3} \right\},\left\{ {3;4} \right\},\left\{ {5;3} \right\},\left\{ {3;5} \right\}\)

Khối đa diện đều loại \(\left\{ {n;p} \right\}\) có \(\text{Đ}\) đỉnh, \(C\) cạnh và \(M\) mặt thì: \(p\text{Đ} = 2C = nM\)

- Khi trải phẳng các khối đa diện đều trên ta sẽ được các hình vẽ sau:

- Định lý Ơ-le: Mọi khối đa diện lồi đều có \(D - C + M = 2\), ở đó \(D,C,M\) lần lượt là số đỉnh, số cạnh, số mặt của khối đa diện.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!