Phương pháp giải bài tập phương trình dao động mạch LC (q - u - i)

1. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG

Ta có:

- Phương trình điện tích trên hai bản tụ điện: \(q{\rm{ }} = {\rm{ }}{Q_0}cos\left( {\omega t + {\varphi _q}} \right)\)

- Phương trình điện áp giữa hai bản tụ điện: \(u = \frac{{{Q_0}}}{C}cos\left( {\omega t + {\varphi _u}} \right){\rm{ }} = {U_0}cos\left( {\omega t + {\varphi _u}} \right)\)

- Phương trình điện áp dòng điện chạy trong mạch: \(i = q' = - {Q_0}\omega sin{\varphi _q} = {I_0}cos\left( {\omega t + {\varphi _i}} \right)\)

Trong đó:

  • Dòng điện, điện áp và điện tích luôn dao động cùng tần số với nhau
  • Điện áp và điện tích luôn dao động cùng pha: \({\varphi _q} = {\varphi _u}\)
  • Dòng điện trong mạch dao động nhanh pha\(\frac{\pi }{2}\) so với điện tích (điện áp) trong mạch: \({\varphi _i} = {\varphi _q} + \frac{\pi }{2} = {\varphi _u} + \frac{\pi }{2}\)

Các bước viết phương trình dao động:

  • Bước 1: Xác định biên Q0, U0, I0 (tùy yêu cầu của đề bài)
  • Bước 2: Xác định tần số góc: \(\omega = \frac{1}{{\sqrt {LC} }} = \frac{{2\pi }}{T} = 2\pi f = \frac{{{I_0}}}{{{Q_0}}}\)
  • Bước 3: Xác định pha ban đầu φ

tại t = 0: \(\left\{ \begin{array}{l}q = {Q_0}{\rm{cos}}\varphi \\i =  - {I_0}\omega {\rm{sin}}\varphi \\u = {U_0}{\rm{cos}}\varphi \end{array} \right. \to \varphi \)

(Ta chỉ cần 2 dữ kiện q và i hoặc i và u để xác định φ)

  • Bước 4: Viết phương trình dao động

Lưu ý: Các bước có thể đổi vị trí cho nhau

Ví dụ:

Ví dụ 1:  Trong một mạch dao động, điện tích trên tụ biến thiên theo quy luật\(q = 2,5c{\rm{os(2}}{\rm{.1}}{{\rm{0}}^3}\pi t + \frac{\pi }{3}){\rm{ }}\mu {\rm{C}}\). Biểu thức cường độ dòng điện qua cuộn dây là:

Hướng dẫn:

Cường độ dòng điện cực đại: \({I_0} = {Q_0}\omega  = {2,5.10^{ - 6}}{.2.10^3}\pi  = {5.10^{ - 3}}\pi A = 5\pi {\rm{ }}mA\)

\({\varphi _i} = {\varphi _q} + \frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{3} + \frac{\pi }{2} = \frac{{5\pi }}{6}\)

\( \to i = 5\pi c{\rm{os(2}}{\rm{.1}}{{\rm{0}}^3}\pi t + \frac{{5\pi }}{6}){\rm{ mA}}\)

Ví dụ 2:  Một mạch dao động LC có tụ điện với điện dung \(C = {\rm{ }}25{\rm{ }}pF\) và cuộn cảm có độ tự cảm  \(L = {\rm{ }}{4.10^{ - 4}}H\) . Lúc t=0,  dòng điện trong mạch có giá trị cực đại và bằng \(20{\rm{ }}mA\) . Biểu thức của điện tích trên bản cực của tụ điện là:

Hướng dẫn:

Tần số góc của mạch dao động: \(\omega  = \frac{1}{{\sqrt {LC} }} = \frac{1}{{\sqrt {{{4.10}^{ - 4}}{{.5.10}^{ - 12}}} }} = {10^7}rad/s\)

Điện tích cực đại giữa hai bản tụ điện: \({Q_0} = \frac{{{I_0}}}{\omega } = \frac{{{{20.10}^{ - 3}}}}{{{{10}^7}}} = {2.10^{ - 9}}C = 2{\rm{ }}nC\)

Tại \(t = 0,{\rm{ }}i = {I_0}cos{\varphi _i} = {I_0} =  > {\rm{ }}{\varphi _i} = {\rm{ }}0\)

=>\({\varphi _u} = {\varphi _i} - \frac{\pi }{2} =  - \frac{\pi }{2}\)\(\)

\( \to q = 2c{\rm{os(1}}{{\rm{0}}^7}t - \frac{\pi }{2}){\rm{ }}nC\)

2. THỜI ĐIỂM ĐIỆN TÍCH TRÊN TỤ BIẾN THIÊN TỪ Q1 ĐẾN Q2.

(Tương tự bài toán xác định thời gian vật chuyển động từ vị trí có li độ x1 đến vị trí có li độ x2 trong dao động điều hòa)

Phương pháp: Sử dụng vòng tròn lượng giác và công thức \(\Delta t = \frac{{\Delta \varphi }}{\omega }\)

  • Bước 1: Xác định vị trí q1 và q2 trên vòng tròn lượng giác
  • Bước 2: Xác định vị trí góc quay khi điện tích biến thiên từ giá trị q1 đến giá trị q2
  • Bước 3: Áp dụng công thức: \(\Delta t = \frac{{\Delta \varphi }}{\omega } = \frac{{T\Delta \varphi }}{{2\pi }}\)

Luyện bài tập vận dụng tại đây!