Phương pháp giải bài tập sự nhanh chậm của đồng hồ quả lắc

I - PHƯƠNG PHÁP CHUNG.

Gọi T1 là chu kì chạy đúng, T2 là chu kì chạy sai

Trong thời gian T1(s) đồng hồ chạy sai |T2-T1| (s)

=> 1(s) đồng hồ chạy sai \(\frac{{\left| {{T_2} - {T_1}} \right|}}{{{T_1}}}s\)

Vậy trong khoảng thời gian ∆t, đồng hồ chạy sai: \(\theta  = \Delta t\frac{{\left| {{T_2} - {T_1}} \right|}}{{{T_1}}}s\)

Các bước giải:

- Bước 1: Thiết lập tỉ số \(\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}}\)

- Bước 2: Biện luận:

  • Nếu: \(\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} > 1 \to {T_2} > {T_1}\): Chu kì tăng => Đồng hồ chạy chậm lại
  • Nếu \(\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} < 1 \to {T_2} < {T_1}\): Chu kì giảm => Đồng hồ chạy nhanh lên

- Bước 3: Xác định thời gian chạy nhau hay chậm bằng công thức: \(\theta = \Delta t\frac{{\left| {{T_2} - {T_1}} \right|}}{{{T_1}}} = \Delta t\left| {\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} - 1} \right|s\)

II- CÁC DẠNG BÀI TẬP

1. Dạng 1: Xác định thời gian đồng hồ chạy sai khi thay đổi nhiệt độ.

- Khi thay đổi nhiệt độ, chiều dài của con lắc thay đổi theo biểu thức: \(l = {l_0}(1 + \alpha t)\)

  • l0: chiều dài dây treo (kim loại) ở 00C
  • l: chiều dài dây treo (kim loại) ở t0C
  • α: hệ số nở dài của dây treo kim loại

Ở nhiệt độ t1 đồng hồ chạy đúng, nhiệt độ t2 đồng hồ chạy sai:

- Xét tỉ số: \(\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}}\)

Ta có: \(\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = \sqrt {\frac{{{l_2}}}{{{l_1}}}}  = \sqrt {\frac{{{l_0}(1 + \alpha ({t_2})}}{{{l_0}(1 + \alpha {t_1})}}}  = \sqrt {\frac{{(1 + \alpha {t_2})}}{{(1 + \alpha {t_1})}}}  = {(1 + \alpha {t_2})^{\frac{1}{2}}}{(1 + \alpha {t_1})^{ - \frac{1}{2}}}\)

Sử dụng công thức gần đúng: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 \pm x} \right)^n} \approx 1 \pm nx\\\left( {1 + {x_1}} \right)\left( {1 - {x_2}} \right) \approx 1 + {x_1} - {x_2}\end{array} \right.\) với x, x1, x2 << 1

Vì αt1  và αt2<< 1\( \to {(1 + \alpha {t_2})^{\frac{1}{2}}}{(1 + \alpha {t_1})^{ - \frac{1}{2}}} \approx \left( {1 + \frac{1}{2}\lambda {t_2}} \right)\left( {1 - \frac{1}{2}\lambda {t_1}} \right) \approx 1 + \frac{1}{2}\alpha {t_2} - \frac{1}{2}\alpha {t_1} \approx 1 + \frac{1}{2}\alpha \left( {{t_2} - {t_1}} \right)\)

\( \to \theta  = \Delta t\frac{{\left| {{T_2} - {T_1}} \right|}}{{{T_1}}} = \Delta t\left| {\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} - 1} \right| = \Delta t.\frac{1}{2}\alpha \left( {{t_2} - {t_1}} \right)(s)\)

Nếu t2 > t1: đồng hồ chạy chậm lại và ngược lại t2 < t1: đồng hồ chạy nhanh lên.

2. Dạng 2: Xác định thời gian đồng hồ chạy sai ở độ cao h và độ sâu d so với mực nước biến (coi nhiệt độ không đổi)

Khi đưa con lắc lên độ cao h hay xuống độ sâu d thì gia tốc rơi tự do g thay đổi.

  • Ở mực nước biển đồng hồ chạy đúng, khi đưa lên độ cao h:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = \sqrt {\frac{g}{{{g_h}}}} \\{g_h} = g\frac{{{R^2}}}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}}\end{array} \right. \to \frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = \frac{{\left( {R + h} \right)}}{R} = 1 + \frac{h}{R}\)

\( \to \theta  = \Delta t\frac{{\left| {{T_2} - {T_1}} \right|}}{{{T_1}}} = \Delta t\left| {\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} - 1} \right| = \Delta t\frac{h}{R}(s)\)

Ta thấy \(\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = 1 + \frac{h}{R} > 1 \to {T_2} > {T_1}\)=> Đồng hồ chạy chậm lại

  • Ở mực nước biển đồng hồ chạy đúng, khi đưa đồng hồ xuống độ sâu h thì đồng hồ chạy sai.

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = \sqrt {\frac{g}{{{g_d}}}} \\{g_d} = g\frac{{\left( {R - d} \right)}}{R}\end{array} \right. \to \frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = \sqrt {\frac{R}{{\left( {R - d} \right)}}}  = \sqrt {\frac{1}{{1 - \frac{d}{R}}}}  = {\left( {1 - \frac{d}{R}} \right)^{ - \frac{1}{2}}} \approx 1 + \frac{1}{2}\frac{d}{R}\)

\( \to \theta  = \Delta t\frac{{\left| {{T_2} - {T_1}} \right|}}{{{T_1}}} = \Delta t\left| {\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} - 1} \right| = \Delta t\frac{1}{2}\frac{d}{R}(s)\)

Khi đưa con lắc lên cao hoặc xuống sâu, chu kì đều tăng nên suy ra đồng hồ luôn chạy chậm

3. Dạng 3: Xác định thời gian đồng hồ chạy sai khi thay đổi vị trí trên trái đất (nhiệt độ không đổi)

Tại nơi có gia tốc trọng trường g1 đồng hồ chạy đúng với: \({T_1} = 2\pi \sqrt {\frac{l}{{{g_1}}}} \)

Tại nơi có gia tốc trọng trường g2 đồng hồ chạy sai: \({T_1} = 2\pi \sqrt {\frac{l}{{{g_2}}}} \)

\( \to \frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} \approx 1 - \frac{1}{2}\frac{{\Delta g}}{{{g_1}}} \to \frac{{{T_2} - {T_1}}}{{{T_1}}} =  - \frac{1}{2}\frac{{\Delta g}}{{{g_1}}}\)

TỔNG QUÁT: Xác định thời gian đồng hồ chạy sai khi 1 hoặc nhiều yếu tố thay đổi.

\(\frac{{\Delta T}}{T} = \frac{{{T_2} - {T_1}}}{{{T_1}}} = \frac{1}{2}\alpha \left( {{t_2} - {t_1}} \right) + \frac{h}{R} + \frac{1}{2}\frac{d}{R} - \frac{1}{2}\frac{{\Delta g}}{{{g_1}}}\)

Luyện bài tập vận dụng tại đây!