Phương pháp giải một số bài toán liên quan đến điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước

1. Kiến thức cần nhớ

Điểm \(M\left( {a;b} \right)\) biểu diễn số phức \(z = a + bi\).

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp:

Cách 1: Tính số phức \(z\) dựa vào các phép đổi thông thường.

Cách 2:

- Bước 1: Gọi số phức \(z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\) có điểm biểu diễn là \(M\left( {x;y} \right)\).

- Bước 2: Thay \(z = x + yi\) và điều kiện đề bài tìm \(x,y \Rightarrow M\).

Ví dụ: Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(w + 2z = i\) biết \(w = 2 - i\). Tìm tọa độ điểm biểu diễn số phức \(z\).

Giải:

Gọi \(z = a + bi\left( {a,b \in R} \right)\) biểu diễn số phức \(z\), ta có:

\(2 - i + 2\left( {a + bi} \right) = i \Leftrightarrow \left( {2 + 2a} \right) + \left( {2b - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 + 2a = 0\\2b - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = 1\end{array} \right.\)

Vậy \(M\left( { - 1;1} \right)\).

Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức.

Phương pháp:

- Bước 1: Gọi số phức \(z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\) có điểm biểu diễn là \(M\left( {x;y} \right)\).

- Bước 2: Thay \(z = x + yi\) vào điều kiện đã cho dẫn đến phương trình liên hệ giữa \(x,y\).

- Bước 3: Kết luận:

+) Phương trình đường thẳng: \(Ax + By + C = 0\)

+) Phương trình đường tròn: \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\)

+) Phương trình parabol: \(y = a{x^2} + bx + c\) hoặc \(x = a{y^2} + by + c\)

+) Phương trình elip: \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Ví dụ: Tìm tập hợp các điểm $M$ biểu diễn số phức \(z\) thỏa mãn:\(|z - (3 - 4i)| = 2\).

A. Đường tròn tâm $I\left( {3, - 4} \right)$ và bán kính $R = 2$.

B. Đường tròn tâm $I\left( { - 3,4} \right)$ và bán kính $R = 2$.

C. Đường tròn tâm $I\left( {3, - 4} \right)$ và bán kính $R = 1$.

D. Đường tròn tâm $I\left( { - 3,4} \right)$ và bán kính $R = 1$.

Giải:

Giả sử ta có số phức $z = a + bi$ .

Thay vào \(|z - (3 - 4i)| = 2\) có:

\(|a + bi - (3 - 4i)| = 2 \Leftrightarrow |(a - 3) + (b + 4)i| = 2 \)

$\Leftrightarrow \sqrt {{{(a - 3)}^2} + {{(b + 4)}^2}}  = 2 \Leftrightarrow {(a - 3)^2} + {(b + 4)^2} = 4$.

Chọn đáp án A

Luyện bài tập vận dụng tại đây!