Phương trình mặt phẳng - Lý thuyết

1. Véc tơ pháp tuyến và cặp véc tơ chỉ phương của mặt phẳng

+) Véc tơ \(\overrightarrow n \left( { \ne \overrightarrow 0 } \right)\) là một véc tơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng \(\left( P \right)\) nếu giá của nó vuông góc với \(\left( P \right)\).

+) Hai véc tơ không cùng phương \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) được gọi là cặp véc tơ chỉ phương (VTCP) của \(\left( P \right)\) nếu giá của chúng nằm trong \(\left( P \right)\) hoặc song song với \(\left( P \right)\).

+) Nếu \(\overrightarrow n \) là một VTPT của \(\left( P \right)\) thì \(k.\overrightarrow n \left( {k \ne 0} \right)\) cũng là VTPT của \(\left( P \right)\), do đó một mặt phẳng có vô số VTPT.

+) Nếu \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) là cặp VTCP của \(\left( P \right)\) thì \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]\) là một VTPT của \(\left( P \right)\).

2. Phương trình mặt phẳng

+) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)\) làm VTPT thì \(\left( P \right)\) có phương trình:

\(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)

+) Nếu \({a^2} + {b^2} + {c^2} > 0\) (\(a,b,c\) không đồng thời bằng \(0\)) thì phương trình \(ax + by + cz + d = 0\) là phương trình của một mặt phẳng có VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)\).

3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0;\left( Q \right):a'x + b'y + c'z + d' = 0\) có các VTPT lần lượt là \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right),\overrightarrow {n'}  = \left( {a';b';c'} \right)\). Khi đó hai mặt phẳng:

- cắt nhau nếu \(\overrightarrow n  \ne k.\overrightarrow {n'} \)

- song song nếu \(\overrightarrow n  = k.\overrightarrow {n'} \) và \(d \ne k.d'\)

- trùng nhau nếu  \(\overrightarrow n  = k.\overrightarrow {n'} \) và \(d = k.d'\)

- vuông góc nếu $\overrightarrow n .\overrightarrow {n'}  = 0$.

Nếu \(a'b'c'd' \ne 0\) thì:

+) \(\dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}}\) hoặc \(\dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}\) hoặc \(\dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}\) thì \(\left( P \right),\left( Q \right)\) cắt nhau.

+) \(\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}} \ne \dfrac{d}{{d'}}\) thì \(\left( P \right)//\left( Q \right)\)

+) \(\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}} = \dfrac{d}{{d'}}\) thì \(\left( P \right) \equiv \left( Q \right)\)

+) \(a.a' + b.b' + c.c' = 0\) thì \(\left( P \right) \bot \left( Q \right)\).

4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

- Khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0\) là:

\(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

- Đặc biệt, nếu điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right) \in \left( P \right)\) thì \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = 0\)

* Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song trong không gian

Cho hai mặt phẳng (P), (Q) song song trong không gian. Phương trình của chúng đều có thể đưa về dạng:

$(P): ax+by+cz+d=0$ và  $(Q): ax+by+cz+d’=0$ (a²+b²+c²>0 và d≠d’)

Cách 1:

Giả sử $M(x_0;y_0;z_0)$ thuộc mặt phẳng $(P)$. Khoảng cách giữa (P) và (Q) chính là khoảng cách giữa M và (Q). Do đó:

\(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

Cách 2:

Sử dụng công thức: \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{\left| {d - d'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

5. Góc giữa hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0;\left( Q \right):a'x + b'y + c'z + d' = 0\)

Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right),\left( Q \right)\) là góc có:

$\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \dfrac{{\left| {a.a' + b.b' + c.c'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {a{'^2} + b{'^2} + c{'^2}} }}$

Góc giữa hai mặt phẳng là \(\alpha \) thì \(0 \le \alpha  \le {90^0} \Rightarrow 0 \le \cos \alpha  \le 1\).

Luyện bài tập vận dụng tại đây!