Phương trình mũ và một số phương pháp giải

1. Phương trình mũ cơ bản

Phương trình \({a^x} = m\left( {0 < a \ne 1} \right)\) được gọi là phương trình mũ.

- Với \(m > 0\) thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x = {\log _a}m\).

- Với \(m \le 0\) thì phương trình vô nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình \({5^x} = 125\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{5^x} = 125\\ \Leftrightarrow x = {\log _5}125\\ \Leftrightarrow x = 3\end{array}\)

2. Một số phương pháp giải phương trình mũ

Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số.

Phương pháp:

- Bước 1: Biến đổi các lũy thừa về cùng cơ số.

- Bước 2: Sử dụng kết quả \({a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)\left( {0 < a \ne 1} \right)\)

- Bước 3: Giải phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) ở trên và kết luận.

Ví dụ: Giải phương trình \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2x - 1}} = {2^{3x}}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2x - 1}} = {2^{3x}}\\ \Leftrightarrow {2^{ - 2x + 1}} = {2^{3x}}\\ \Leftrightarrow  - 2x + 1 = 3x\\ \Leftrightarrow 1 = 5x\\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{5}\end{array}\)

Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ.

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm một lũy thừa chung, đặt làm ẩn phụ và tìm điều kiện cho ẩn.

- Bước 2: Giải phương trình chứa ẩn phụ, kiểm tra điều kiện.

- Bước 3: Thay ẩn phụ và giải phương trình đối với ẩn ban đầu.

- Bước 4: Kết luận nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình \({4^x} - {2^{x + 1}} + 1 = 0\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{4^x} - {2^{x + 1}} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} - {2.2^x} + 1 = 0\end{array}\)

Đặt \(t = {2^x} > 0\) ta được:

\(\begin{array}{l}{t^2} - 2t + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow t - 1 = 0\\ \Leftrightarrow t = 1\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {2^x} = 1\\ \Leftrightarrow x = {\log _2}1\\ \Leftrightarrow x = 0\end{array}\)

- Phương trình dạng: \(m.{a^{2f\left( x \right)}} + n.{a^{f\left( x \right) + g\left( x \right)}} + p.{a^{2g\left( x \right)}} = 0\)

Chia hai vế cho \({a^{2g\left( x \right)}}\) và đặt \(t = {a^{f\left( x \right) - g\left( x \right)}}\) .

- Phương trình dạng: \(m.{a^{2f\left( x \right)}} + n.{\left( {ab} \right)^{f\left( x \right)}} + p.{b^{2f\left( x \right)}} = 0\)

Chia hai vế cho \({a^{2f\left( x \right)}}\) và đặt \(t = {\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^{f\left( x \right)}}\).

Dạng 3: Phương pháp logarit hóa.

Phương trình có dạng \({a^{f\left( x \right)}} = {b^{g\left( x \right)}}\left( {0 < a,b \ne 1;\left( {a,b} \right) = 1} \right)\).

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm điều kiện xác định.

- Bước 2: Lấy logarit cơ số \(a\) (hoặc \(b\)) hai vế:

\({a^{f\left( x \right)}} = {b^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow {\log _a}\left[ {{a^{f\left( x \right)}}} \right] = {\log _a}\left[ {{b^{g\left( x \right)}}} \right] \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right){\log _a}b\)

- Bước 3: Giải phương trình trên tìm \(x\).

- Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Ví dụ: Giải phương trình \({3^x}{.2^{{x^2}}} = 1\).

Logarit hai vế cơ số \(3\) ta được:

\(\begin{array}{l}{\log _3}\left( {{3^x}{{.2}^{{x^2}}}} \right) = {\log _3}1\\ \Leftrightarrow {\log _3}{3^x} + {\log _3}{2^{{x^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow x + {x^2}{\log _3}2 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {1 + x{{\log }_3}2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\1 + x{\log _3}2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - \frac{1}{{{{\log }_3}2}} =  - {\log _2}3\end{array} \right.\end{array}\)

Dạng 4: Phương trình đưa về phương trình tích.

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm điều kiện xác định (nếu có)

- Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng tích \(AB = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\)

- Bước 3: Giải các phương trình \(A = 0,B = 0\) tìm nghiệm.

- Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm.

Dạng 5: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức, tính đơn điệu của hàm số.

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm điều kiện xác định.

- Bước 2: Có thể làm một trong hai cách sau:

Cách 1: Biến đổi phương trình sao cho một vế là hàm số đơn điệu, một vế là hằng số hoặc một vế là hàm đồng biến và vế còn lại là hàm số nghịch biến.

Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng \(f\left( u \right) = f\left( v \right)\) với \(f\) là hàm số đơn điệu.

- Bước 3: Nhẩm một nghiệm của phương trình trên.

- Bước 4: Kết luận nghiệm duy nhất của phương trình.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!