Cấp số cộng

I. Cấp số cộng

- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng \( \Leftrightarrow {u_n} = {u_{n - 1}} + d,\forall n \ge 2\)  

- Số \(d\) được gọi là công sai của cấp số cộng.

- Tính chất:

+) \({u_k} = \dfrac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2},\forall k \ge 2\)

+) Số hạng tổng quát: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)

+) Tổng \(n\) số hạng đầu: \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = \dfrac{{\left( {{u_1} + {u_n}} \right).n}}{2} = \dfrac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right].n}}{2}\)

Trường hợp đặc biệt của cấp số cộng:

Nếu công sai bằng 0 thì cấp số cộng là 1 dãy hằng.

Chẳng hạn 1; 1; 1; … là cấp số cộng với công sai bằng 0.

II. Tìm công sai của cấp số cộng

Phương pháp:

Sử dụng các tính chất của cấp số cộng, biến đổi để tính công sai của cấp số cộng.

Ví dụ:

Cho một cấp số cộng $\left(u_{n}\right)$ có $u_{1}=1$ và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850 . Tính công sai $d$.
Lời giải:
Ta có $S_{100}=24850 \Leftrightarrow \dfrac{100}{2}\left(u_{1}+u_{100}\right)$$=24850 \Leftrightarrow u_{100}=496$.
Mà $u_{100}=u_{1}+99 d \Rightarrow d=\dfrac{u_{100}-u_{1}}{99} $$\Leftrightarrow d=5$.

III. Tìm số hạng của cấp số cộng

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)

Ví dụ:

Cho cấp số cộng $(u_n)$ với $u_1=1,d=3$.

Số hạng thứ 100 là: $u_100=u_1+99d=1+99.3=298$

IV. Tính tổng n số hạng đầu tiên của dãy

Phương pháp:

Sử dụng công thức \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} \)\(= \dfrac{{\left( {{u_1} + {u_n}} \right).n}}{2} \)\(= \dfrac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right].n}}{2}\)

Ví dụ:

Cho cấp số cộng $(u_n)$ với $u_1=1,d=3$.

Tổng 100 số hạng đầu là: $S_100=\dfrac{[2.u_1+99d].100}{2}=14950$

V. Tìm cấp số cộng

Phương pháp chung:

- Tìm các yếu tố xác định một cấp số cộng như: số hạng đầu \({u_1}\), công sai \(d\).

- Tìm công thức cho số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\).

Luyện bài tập vận dụng tại đây!