Bài toán cực trị có tham số đối với một số hàm số cơ bản

I. Tìm điều kiện của tham số để hàm số bậc ba có điểm cực trị

Phương pháp:

- Bước 1: Tính \(y'\).

- Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số bậc ba có điểm cực trị:

+ Hàm số có điểm cực trị \( \Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta  > 0\).

+ Hàm số không có điểm cực trị \( \Leftrightarrow y' = 0\) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \Delta  \le 0\).

- Bước 3: Kết luận.

Hàm số bậc ba chỉ có thể có hai cực trị hoặc không có cực trị nào.

II. Tìm điều kiện của tham số để hàm số bậc bốn trùng phương có điểm cực trị

Phương pháp:

- Bước 1: Tính \(y'\).

- Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số có điểm cực trị:

+ Hàm số có \(1\) điểm cực trị nếu phương trình \(y' = 0\) có nghiệm duy nhất.

+ Hàm số có \(3\) điểm cực trị nếu phương trình \(y' = 0\) có ba nghiệm phân biệt.

- Bước 3: Kết luận.

Hàm số bậc bốn trùng phương chỉ có thể có \(1\) điểm cực trị hoặc có \(3\) điểm cực trị.

+ Trường hợp có \(1\) điểm cực trị thì đó là \(x = 0\).

+ Trường hợp có \(3\) điểm cực trị thì đó là \(x = 0;x =  - \sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} ;x = \sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} \)

III. Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc ba có hai điểm cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp:

- Bước 1: Tính \(y'\).

- Bước 2: Nêu điều kiện để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị thỏa mãn điều kiện:

+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về hai phía trục tung

\( \Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt trái dấu\( \Leftrightarrow ac < 0\)

+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm cùng phía so với trục tung

\( \Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\P > 0\end{array} \right.\)

+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về bên phải trục tung

\( \Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dương \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.\)

+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về bên trái trục tung

\( \Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt cùng âm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.\)

+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) thỏa mãn đẳng thức liên hệ giữa \({x_1},{x_2}\) thì ta biến đổi đẳng thức đã cho làm xuất hiện \({x_1} + {x_2},{x_1}.{x_2}\) rồi sử dụng hệ thức Vi-et để thay \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = S\\{x_1}{x_2} = P\end{array} \right.\) và tìm \(m\).

IV. Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương có ba điểm cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp:

- Bước 1: Tính \(y'\).

- Bước 2: Nêu điều kiện để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thỏa mãn điều kiện:

+ Ba điểm cực trị \(A,B,C\) trong đó \(A\left( {0;c} \right)\) lập thành một tam giác vuông (vuông cân)

\( \Leftrightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(A \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0\) .

Khi đó:

\(y' = 4a{x^3} + 2bx = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm \sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} \end{array} \right.\)\( \Rightarrow A\left( {0;c} \right),B\left( { - \sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} ;c - \dfrac{{{b^2}}}{{4a}}} \right),C\left( {\sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} ;c - \dfrac{{{b^2}}}{{4a}}} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( { - \sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} ; - \dfrac{{{b^2}}}{{4a}}} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {\sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} ; - \dfrac{{{b^2}}}{{4a}}} \right)\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{b}{{2a}} + \dfrac{{{b^4}}}{{16{a^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow 8ab + {b^4} = 0\\ \Leftrightarrow 8a + b^3 = 0\\ \Leftrightarrow b =  -2\sqrt[3]{a}\end{array}\)

Đây là công thức tính nhanh trong bài toán trắc nghiệm.

+ Ba điểm cực trị \(A,B,C\) trong đó \(A\left( {0;c} \right)\) tạo thành tam giác đều \( \Leftrightarrow AB = BC = CA\).

+ Ba điểm cực trị \(A,B,C\) trong đó \(A\left( {0;c} \right)\) tạo thành tam giác có diện tích \({S_0}\) cho trước

\( \Leftrightarrow {S_0} = \dfrac{1}{2}AH.BC\) với \(H\) là trung điểm của \(BC\).

+ Ba điểm cực trị \(A,B,C\) trong đó \(A\left( {0;c} \right)\) tạo thành tam giác có diện tích \({S_0}\) lớn nhất

\( \Leftrightarrow \) Tìm \(\max {S_0}\) với \({S_0} = \dfrac{1}{2}AH.BC,H\) là trung điểm của \(BC\).

+ Ba điểm cực trị \(A,B,C\) trong đó \(A\left( {0;c} \right)\) tạo thành tam giác cân có góc ở đỉnh bằng \(\alpha \) cho trước

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \cos \alpha \)

+ Ba điểm cực trị \(A,B,C\) trong đó \(A\left( {0;c} \right)\) tạo thành tam giác có ba góc nhọn

\( \Leftrightarrow \alpha \) là góc ở đỉnh phải nhọn \( \Leftrightarrow \cos \alpha  = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} > 0\)

- Bước 3: Kết luận.

V. Viết phương trình đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba

Phương pháp:

- Bước 1: Tính \(y'\).

- Bước 2: Lấy \(y\) chia \(y'\) ta được đa thức dư \(g\left( x \right) = mx + n\).

- Bước 3: Kết luận: \(y = mx + n\) là đường thẳng cần tìm.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!