Bài toán tiếp tuyến của đồ thị và sự tiếp xúc của hai đường cong

I. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc nhỏ nhất, lớn nhất

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) biết nó có hệ số góc nhỏ nhất, lớn nhất.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính \(y' = f'\left( x \right)\).

- Bước 2: Tìm GTNN (hoặc GTLN) của \(f'\left( x \right)\) suy ra hệ số góc của tiếp tuyến và hoành độ tiếp điểm (là giá trị mà \(f'\left( x \right)\) đạt GTNN, GTLN).

- Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm vừa tìm được.

a) Tiếp tuyến tại các điểm cực trị của đồ thị \(\left( C \right)\) có phương song song hoặc trùng với trục hoành.

b) Cho hàm số bậc ba \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a \ne 0} \right)\).

+) Khi \(a > 0\) thì tiếp tuyến tại tâm đối xứng của \(\left( C \right)\) có hệ số góc nhỏ nhất.

+) Khi \(a < 0\) thì tiếp tuyến tại tâm đối xứng của \(\left( C \right)\) có hệ số góc lớn nhất.

II. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết mối quan hệ của nó với đường thẳng cho trước

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\).

Phương pháp:

- Bước 1: Tính \(y' = f'\left( x \right)\).

- Bước 2: Nêu điều kiện về mối quan hệ giữa tiếp tuyến có hệ số góc \(k = f'\left( x \right)\) với đường thẳng \(d\) có hệ số góc \(k'\).

+ Tiếp tuyến vuông góc \(d \Leftrightarrow k.k' =  - 1\).

+ Tiếp tuyến song song với \(d \Leftrightarrow k = k'\).

+ Góc tạo bởi tiếp tuyến của \((C)\) với \(d\) bằng \(\alpha  \Leftrightarrow \tan \alpha  = \left| {\dfrac{{{k} - {k'}}}{{1 + {k}{k'}}}} \right|\)

- Bước 3: Giải phương trình ở trên tìm nghiệm \({x_1},{x_2},...\) và tọa độ các tiếp điểm.

- Bước 4: Viết phương trình các tiếp tuyến tại các tiếp điểm vừa tìm được.

III. Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số có tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện nào đó

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Tìm \(m\) để tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) đi qua điểm \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\) cho trước.

Phương pháp:

- Bước 1: Viết phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0}\) thuộc \(\left( C \right)\): \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\)

- Bước 2: Nêu điều kiện để tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện đề bài:

Tiếp tuyến đi qua điểm \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right) \Leftrightarrow pt{\rm{ }}{y_M} = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {{x_M} - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\) có nghiệm.

- Bước 3: Tìm điều kiện của \(m\) dựa vào điều kiện ở trên và kết luận.

IV. Tìm điều kiện của tham số để hai đồ thị hàm số tiếp xúc với nhau

Phương pháp:

- Bước 1: Tính \(f'\left( x \right),g'\left( x \right)\).

- Bước 2: Nêu điều kiện để hai đồ thị hàm số tiếp xúc:

\(\left( C \right)\) và \(\left( {C'} \right)\) tiếp xúc nếu và chỉ nếu hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\\f\left( x \right) = g\left( x \right)\end{array} \right.\) có nghiệm.

- Bước 3: Tìm \(m\) từ điều kiện trên và kết luận.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!