Các dạng toán viết phương trình mặt phẳng

I. Phương trình mặt phẳng

- Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)\) làm VTPT là:

\(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)

Muốn viết phương trình mặt phẳng ta cần xác định một điểm và một véc tơ pháp tuyến.

- Phương trình đoạn chắn: Mặt phẳng đi qua điểm \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\) là:

\(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\)

- Phương trình các mặt phẳng tọa độ: \(\left( {Oxy} \right):z = 0,\left( {Oyz} \right):x = 0,\left( {Oxz} \right):y = 0\)

- Chùm mặt phẳng:

Giả sử \(\left( P \right) \cap \left( Q \right) = d\) trong đó: $\left( P \right):{A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0\;;\left( Q \right):{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0$

Khi đó, mọi mặt phẳng chứa \(d\) đều có phương trình dạng: $m\left( {{A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1}} \right) + n\left( {{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2}} \right) = 0$ với \({m^2} + {n^2} > 0\)

II. Viết phương trình mặt phẳng

-) Mặt phẳng đi qua ba điểm.

\(\left( P \right)\) đi qua \(A,B,C \Leftrightarrow \left( P \right)\) đi qua \(A\) và nhận \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\) làm VTPT.

-) Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng.

\(\left( P \right)\) là mặt phẳng trung trực của \(AB\) nếu \(\left( P \right)\) đi qua trung điểm \(I\) của \(AB\) và nhận \(\overrightarrow {AB} \) làm VTPT.

-) Mặt phẳng đi qua một điểm và song song với mặt phẳng.

\(\left( P \right)\) đi qua \(A\) và song song \(\left( Q \right)\) nếu \(\left( P \right)\) đi qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow {{n_Q}} \) làm VTPT.

-) Mặt phẳng đi qua hai điểm và vuông góc với một mặt phẳng.

\(\left( P \right)\) đi qua hai điểm \(M,N\) và vuông góc mặt phẳng \(\left( Q \right)\) nếu \(\left( P \right)\) đi qua \(M\) và nhận \(\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right]\) làm VTPT.

-) Mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với hai mặt phẳng.

\(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\) và vuông góc với \(\left( Q \right),\left( R \right)\) (không song song) nếu \(\left( P \right)\) đi qua \(M\) và nhận \(\left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {{n_R}} } \right]\) làm VTPT.

III. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm một điểm nằm trên mặt phẳng này.

- Bước 2: Tính khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng còn lại.

- Bước 3: Kết luận: khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

IV. Tìm điều kiện của tham số để hai mặt phẳng vuông góc, song song

Sử dụng các điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc,… để tìm tham số.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!