Hàm số bậc hai

I. Tìm điều kiện tham số để đồ thị hàm số đi qua điểm cho trước

Phương pháp:

Điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số nếu tọa độ của nó thỏa mãn phương trình hàm số.

Ví dụ: Tìm \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^2} - mx + 1\) đi qua điểm \(M\left( {1;2} \right)\).

Giải:

Đồ thị hàm số đi qua \(M\left( {1;2} \right)\)

\( \Rightarrow \) thay \(x = 1;y = 2\) ta được:

\(2 = {1^2} - m.1 + 1 \Leftrightarrow 2 = 2 - m \Leftrightarrow m = 0\)

Vậy \(m = 0\) là giá trị cần tìm.

II. Viết phương trình parabol đi qua ba điểm

Phương pháp:

Bước 1: Gọi phương trình parabol: \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\).

Bước 2: Thay tọa độ ba điểm vào phương trình parabol.

Bước 3: Giải hệ phương trình tìm \(a,b,c\).

Ví dụ: Lập phương trình parabol đi qua các điểm \(A\left( {0;0} \right),B\left( {1;1} \right),C\left( { - 1;1} \right)\).

Giải:

Gọi phương trình parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\).

Do \(\left( P \right)\) đi qua các điểm \(A\left( {0;0} \right),B\left( {1;1} \right),C\left( { - 1;1} \right)\) nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}0 = a{.0^2} + b.0 + c\\1 = a{.1^2} + b.1 + c\\1 = a.{\left( { - 1} \right)^2} + b.\left( { - 1} \right) + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0\\a + b = 1\\a - b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 0\\c = 0\end{array} \right.\)

Vậy phương trình parabol là \(y = {x^2}\).

III. Viết phương trình parabol biết đỉnh và đi qua một điểm

Phương pháp:

Bước 1: Gọi phương trình parabol: \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\).

Bước 2: Lập hệ phương trình ẩn \(a,b,c\) từ các dữ kiện bài cho.

Bước 3: Giải hệ phương trình tìm \(a,b,c\).

Ví dụ: Lập phương trình parabol có đỉnh \(\left( { - 1;3} \right)\) và đi qua điểm \(\left( {0;4} \right)\).

Giải:

Gọi phương trình parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\)

Do \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(\left( {0;4} \right)\) và đỉnh \(\left( { - 1;3} \right)\) nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}4 = a{.0^2} + b.0 + c\\ - \dfrac{b}{{2a}} =  - 1\\a.{\left( { - 1} \right)^2} + b.\left( { - 1} \right) + c = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 4\\b = 2a\\a - b + c = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 4\\a = 1\\b = 2\end{array} \right.\)

Vậy phương trình parabol là \(y = {x^2} + 2x + 4\).

Luyện bài tập vận dụng tại đây!