Hàm số mũ

I. Hàm số mũ

- Hàm số mũ là hàm số dạng \(y = {a^x}\left( {0 < a \ne 1} \right)\).

- Giới hạn liên quan \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{e^x} - 1}}{x} = 1\).

- Đạo hàm: \(y = {a^x} \Rightarrow y' = {a^x}\ln a;y = {a^{u\left( x \right)}} \Rightarrow y' = u'\left( x \right).{a^{u\left( x \right)}}\ln a,x \in R\)

(Đặc biệt $\left( {{e^x}} \right)' = {e^x};{e^{u\left( x \right)}} = u'\left( x \right){e^{u\left( x \right)}}$ )

Khảo sát \(y = {a^x}\):

- TXĐ: \(D = R\)

- Chiều biến thiên:

+ Nếu \(a > 1\) thì hàm đồng biến trên \(R\).

+ Nếu \(0 < a < 1\) thì hàm nghịch biến trên \(R\).

- Đồ thị:

+ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y = 0\).

+ Đồ thị hàm số luôn đi qua các điểm \(\left( {0;1} \right)\) và \(\left( {1;a} \right)\).

+ Đồ thị nằm hoàn toàn phía trên trục hoành vì \({a^x} > 0,\forall x \in R\).

+ Dáng đồ thị:

Đồ thị hàm số mũ

II. Tính giới hạn các hàm số

Phương pháp:

Áp dụng các công thức tính giới hạn đặc biệt để tính toán:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{e^x} - 1}}{x} = 1\);      \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{a^x} - 1}}{x} = \ln a\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {\left( {1 + \dfrac{1}{x}} \right)^x} = e\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {x + 1} \right)^{\dfrac{1}{x}}} = e\).

III. Tìm GTLN, GTNN của hàm số mũ trên một đoạn

Phương pháp:

- Bước 1: Tính \(y'\), tìm các nghiệm \({x_1},{x_2},...,{x_n} \in \left[ {a;b} \right]\) của phương trình \(y' = 0\).

- Bước 2: Tính \(f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x_1}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right)\).

- Bước 3: So sánh các giá trị vừa tính ở trên và kết luận GTLN, GTNN của hàm số.

+ GTNN \(m\) là số nhỏ nhất trong các giá trị tính được.

+ GTLN \(M\) là số lớn nhất trong các giá trị tính được.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!