Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

I. Định nghĩa khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

- Khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) là khoảng cách giữa hai điểm \(M\) và \(H\), trong đó \(H\) là hình chiếu của điểm \(M\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Kí hiệu: \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = MH\).

II. Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Phương pháp:

Để tính được khoảng từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ thì điều quan trọng nhất là ta phải xác định được hình chiếu của điểm $A$ trên $\left( \alpha  \right)$.

TH1:

Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên

- Dựng \(AK \bot \Delta  \Rightarrow \Delta  \bot \left( {SAK} \right) \Rightarrow \left( \alpha  \right) \bot \left( {SAK} \right)\) và \(\left( \alpha  \right) \cap \left( {SAK} \right) = SK\).

- Dựng \(AH \bot SK \Rightarrow AH \bot \left( \alpha  \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( \alpha  \right)} \right) = AH\)

TH2:

Đưa về khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

- Tìm điểm \(H \in \left( \alpha  \right)\) sao cho \(AH//\left( \alpha  \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( \alpha  \right)} \right) = d\left( {H,\left( \alpha  \right)} \right)\)

TH3:

Dùng Ta-lét

- Tìm điểm \(H\) sao cho \(AH \cap \left( \alpha  \right) = I\)

- Khi đó: \(\dfrac{{d\left( {A,\left( \alpha  \right)} \right)}}{{d\left( {H,\left( \alpha  \right)} \right)}} = \dfrac{{IA}}{{IH}} \Rightarrow {\rm{ }}d\left( {A,\left( \alpha  \right)} \right) = \dfrac{{IA}}{{IH}}.d\left( {H,\left( \alpha  \right)} \right){\rm{ }}\)

Một kết quả có nhiều ứng dụng để tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng đối với tứ diện vuông (tương tư như hệ thức lượng trong tam giác vuông) là:

Nếu tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc và có đường cao $OH$ thì $\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}}$.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!