Mối quan hệ giữa hai đường thẳng

I. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Cho \(d,d'\) là các đường thẳng có VTCP lần lượt là \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} ,M \in d,M' \in d'\) . Ta có:

+) \(d \equiv d' \Leftrightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} ,\overrightarrow {MM'} \) đôi một cùng phương \( \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MM'} } \right] = \overrightarrow 0 \)

Hai đường thẳng trùng nhau

+) \(d//d' \Leftrightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} \)  cùng phương nhưng \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {MM'} \) không cùng phương \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \overrightarrow 0 \\\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MM'} } \right] \ne \overrightarrow 0 \end{array} \right.\)

Hai đường thẳng song song

+) \(d\) cắt \(d' \Leftrightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} \) không cùng phương và \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} ,\overrightarrow {MM'} \) đồng phẳng \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]\overrightarrow {MM'}  = 0\end{array} \right.\)

Hai đường thẳng cắt nhau

+) \(d\) chéo \(d' \Leftrightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} ,\overrightarrow {MM'} \)  không đồng phẳng \( \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]\overrightarrow {MM'}  \ne 0\)

Hai đường thẳng chéo nhau

Ngoài ra, ta có thể giải hệ phương trình của hai đường thẳng để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:

+) Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì \(d\) cắt \(d'\).

+) Nếu hệ vô số nghiệm thì \(d \equiv d'\).

+) Nếu hệ vô nghiệm thì:

\(d//d'\)  nếu \(\overrightarrow u  = k\overrightarrow {u'} \) hay \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} \) cùng phương.

\(d\) chéo \(d'\) nếu \(\overrightarrow u  \ne k\overrightarrow {u'} \) hay \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} \) không cùng phương.

II. Khoảng cách và góc

a) Khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(d'\)

\(d\left( {A,d'} \right) = \dfrac{{{S_{ANN'M'}}}}{{AN}} = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM'} ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}\)

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng:

\(d\left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}\)

c) Góc giữa hai đường thẳng có các VTCP lần lượt là: \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} \): 

$\cos \varphi  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}$

Luyện bài tập vận dụng tại đây!