Phương trình đường thẳng

I. Phương trình đường thẳng

- Phương trình tham số của đường thẳng: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)

ở đó \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) là điểm thuộc dường thẳng và \(\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right)\)  là VTCP của đường thẳng.

- Phương trình chính tắc của đường thẳng: \(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\left( {a,b,c \ne 0} \right)\)

ở đó \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) là điểm thuộc dường thẳng và \(\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right)\)  là VTCP của đường thẳng.

- Đường thẳng \(Ox:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 0\\z = 0\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right);\) \(Oy:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = t\\z = 0\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right);\) \(Oz:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)

- Đường thẳng \(AB\) có \(\overrightarrow {{u_{AB}}}  = \overrightarrow {AB} \)

- Đường thẳng \({d_1}//{d_2} \Rightarrow \overrightarrow {{u_1}}  = \overrightarrow {{u_2}} \)

II. Nhận biết các yếu tố trong phương trình đường thẳng

Phương pháp:

Sử dụng các lý thuyết về phương trình đường thẳng để tìm điểm đi qua, VTCP,...

III. Chuyển đổi các dạng phương trình chính tắc và tham số

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm điểm đi qua và VTCP của đường thẳng trong phương trình đã cho.

- Bước 2: Viết phương trình dạng chính tắc, tham số dựa vào hai yếu tố vừa xác định được ở trên.

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right)\) thì có:

+ Phương trình chính tắc: \(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\left( {a,b,c \ne 0} \right)\)

+ Phương trình tham số: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)

IV. Viết phương trình đường thẳng

Phương pháp chung:

- Bước 1: Tìm điểm đi qua \(A\).

- Bước 2: Tìm VTCP \(\overrightarrow u \) của đường thẳng.

- Bước 3: Viết phương trình tham số hoặc chính tắc của đường thẳng biết hai yếu tố trên.

+) Đi qua hai điểm.

Đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow {AB} \) làm VTCP.

Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

+) Đi qua một điểm và song song với một đường thẳng.

Đường thẳng \(d\) qua \(A\) và song song với \(d'\) thì \(d\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{u_{d'}}} \)

Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và song song với đường thẳng cho trước

+) Đi qua một điểm và vuông góc với hai đường thẳng.

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\) và vuông góc với hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) thì \(d\) có VTCP \(\overrightarrow u  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]\)

Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với hai đường thẳng

Viết phương trình đường phân giác d’ của góc nhọn tạo bởi d và ∆

Cách 1:

- Bước 1: Tìm giao điểm \(A = d \cap \Delta \)

Tính \(\overrightarrow {{u_d}}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|\) và \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|\)

Kiểm tra góc \(\left( {\overrightarrow {{u_\Delta }} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right)\), nếu \(\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{u_d}}  > 0 \Rightarrow \widehat {\left( {\overrightarrow {{u_\Delta }} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right)}\) là góc nhọn;

Nếu \(\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{u_d}}  < 0 \Rightarrow \widehat {\left( {\overrightarrow {{u_\Delta }} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right)}\) là góc tù.

- Bước 2: Nếu \(\widehat {\left( {\overrightarrow {{u_\Delta }} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right)}\) là góc nhọn thì \(\overrightarrow {{u_{d'}}}  = \dfrac{{\overrightarrow {{u_d}} }}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|}} + \dfrac{{\overrightarrow {{u_\Delta }} }}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|}}\)

Nếu \(\widehat {\left( {\overrightarrow {{u_\Delta }} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right)}\) là góc tù thì \(\overrightarrow {{u_{d'}}}  = \dfrac{{\overrightarrow {{u_d}} }}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|}} - \dfrac{{\overrightarrow {{u_\Delta }} }}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|}}\)

Cách 2: Lấy điểm B thuộc d, tìm điểm C trên \(\Delta \) sao cho AB=AC

Ta được 2 điểm C thuộc \(\Delta \) sao cho AB=AC

Chọn điểm C sao cho \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  > 0 \Rightarrow \widehat {BAC}\) là góc nọn, đường thẳng d’ qua trung điểm I của BC và có vecto chi phương là \(\overrightarrow {{u_{d'}}}  = \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} \)

Luyện bài tập vận dụng tại đây!