Phương trình logarit và một số phương pháp giải

I. Phương trình logarit cơ bản

Phương trình \({\log _a}x = m\left( {0 < a \ne 1} \right)\) được gọi là phương trình logarit cơ bản.

Điều kiện xác định: \(x > 0\).

Với mọi \(m \in R\) thì phương trình luôn có nghiệm duy nhất \(x = {a^m}\).

Ví dụ: Giải phương trình \({\log _5}x =  - 2\).

Ta có: \({\log _5}x =  - 2 \Leftrightarrow x = {5^{ - 2}} \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{{25}}\).

II. Phương pháp đưa về cùng cơ số

Phương pháp:

- Bước 1: Biến đổi các logarit về cùng cơ số.

- Bước 2: Sử dụng kết quả \({\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) > 0\\f\left( x \right) = g\left( x \right)\end{array} \right.\)

- Bước 3: Giải phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) ở trên.

- Bước 4: Kết hợp điều kiện và kết luận nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình \({\log _2}x + {\log _4}x = 1\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _2}x + {\log _4}x = 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}x + \frac{1}{2}{\log _2}x = 1\\ \Leftrightarrow \frac{3}{2}{\log _2}x = 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}x = \frac{2}{3}\\ \Leftrightarrow x = {2^{\frac{2}{3}}}\\ \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{4}\end{array}\)

III. Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình logarit

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm \({\log _a}f\left( x \right)\) chung, đặt làm ẩn phụ và tìm điều kiện cho ẩn.

- Bước 2: Giải phương trình chứa ẩn phụ, kiểm tra điều kiện.

- Bước 3: Thay ẩn phụ và giải phương trình đối với ẩn ban đầu.

- Bước 4: Kết luận nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình \(\dfrac{1}{{\ln x}} + \dfrac{1}{{\ln x - 1}} = \dfrac{5}{6}\).

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\ln x \ne 0\\\ln x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 1\\x \ne e\end{array} \right.\)

Đặt \(t = \ln x\left( {t \ne 0,t \ne 1} \right)\) ta được:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{t} + \dfrac{1}{{t - 1}} = \dfrac{5}{6}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{6t - 6 + 6t}}{{6t\left( {t - 1} \right)}} = \dfrac{{5t\left( {t - 1} \right)}}{{6t\left( {t - 1} \right)}}\\ \Rightarrow 12t - 6 = 5{t^2} - 5t\\ \Leftrightarrow 5{t^2} - 17t + 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = \dfrac{2}{5}\end{array} \right.\left( {TM} \right)\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\ln x = 3\\\ln x = \dfrac{2}{5}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {e^3}\\x = {e^{\frac{2}{5}}}\end{array} \right.\left( {TM} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {{e^3};{e^{\frac{2}{5}}}} \right\}\).

IV. Phương pháp mũ hóa

Phương trình có dạng \({\log _a}f\left( x \right) = g\left( x \right)\).

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm điều kiện xác định.

- Bước 2: Lấy lũy thừa cơ số \(a\) hai vế:

\({\log _a}f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = {a^{g\left( x \right)}}\)

- Bước 3: Giải phương trình trên tìm \(x\).

- Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Ví dụ: Giải phương trình \({\log _3}\left( {3 - {3^x}} \right) = 1 + x\)

ĐK: \(3 - {3^x} > 0 \Leftrightarrow {3^x} < 3 \Leftrightarrow x < 1\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _3}\left( {3 - {3^x}} \right) = 1 + x\\ \Leftrightarrow 3 - {3^x} = {3^{1 + x}}\\ \Leftrightarrow 3 - {3^x} = {3.3^x}\\ \Leftrightarrow 3 = {4.3^x}\\ \Leftrightarrow {3^x} = \frac{3}{4}\\ \Leftrightarrow x = {\log _3}\frac{3}{4}\\ \Leftrightarrow x = 1 - {\log _3}4\left( {TM} \right)\end{array}\)

V. Phương trình đưa về phương trình tích giải phương trình logarit

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm điều kiện xác định (nếu có)

- Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng tích \(AB = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\)

- Bước 3: Giải các phương trình \(A = 0,B = 0\) tìm nghiệm.

- Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!