Phương trình lượng giác thường gặp

I. Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Phương pháp chung:

- Bước 1: Biến đổi các phương trình đã cho về dạng tích \(A.B = 0\) hoặc sử dụng các công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng, nhân đôi, nhân ba,…

- Bước 2: Giải các phương trình lượng giác cơ bản, tìm nghiệm và kiểm tra điều kiện (nếu có).

Ví dụ: Giải phương trình: \(\cos 2x + \cos 3x + \cos 4x = 0\)

Giải:

pt\( \Leftrightarrow \)\(\cos 4x + \cos 2x + \cos 3x = 0\)\( \Leftrightarrow \)\(2\cos 3x\cos x + \cos 3x = 0\)

\( \Leftrightarrow \)\(\cos 3x\left( {2\cos x + 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}\cos 3x = 0\\\cos x =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}3x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\\cos x = \cos \dfrac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{3}\\x =  \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\),\(k \in \mathbb{Z}\)

II. Phương trình bậc hai đối với một số hàm số lượng giác

Phương trình dạng \(a{f^2}\left( x \right) + bf\left( x \right) + c = 0\left( {a,b,c \in R;a \ne 0} \right)\), ở đó \(f\left( x \right) = \sin u\left( x \right)\) (hoặc \(\cos u\left( x \right),\tan u\left( x \right),\cot u\left( x \right)\)).

Phương pháp chung:

- Bước 1: Đặt \(t = f\left( x \right)\) và đặt điều kiện cho \(t\).

- Bước 2: Thay \(t\) vào phương trình và giải phương trình bậc hai đối với \(t\), kết hợp điều kiện tìm \(t\).

- Bước 3: Giải phương trình \(f\left( x \right) = t\) tìm \(x\) và kết luận (chú ý kiểm tra điều kiện nếu có của \(x\)).

Ví dụ: Giải phương trình: \(2{\sin ^2}x + 3\sin x-2 = 0\).

Giải:

Đặt \(t = \sin x\), \( - 1 \le t \le 1\). PT trở thành: \(2{t^2} + 3t-2 = 0\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}t =  - \dfrac{1}{2}\\t =  - 2\left( L \right)\end{array} \right.\)

Suy ra: \(\sin x - \dfrac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \) \(\sin x = \sin \left( { - \dfrac{\pi }{6}} \right)\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \pi  + \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\), \(k \in \mathbb{Z}\)

III. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x

Phương trình dạng: \(a\cos x + b\sin x = c\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\).

Phương pháp chung:

Cách 1: (Thường dùng cho giải phương trình)

- Bước 1: Kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương trình: \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\).

- Bước 2: Chia hai vế của phương trình cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) thì phương trình có dạng:

\(\dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x + \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

- Bước 3: Đặt \(\cos \alpha  = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }},\sin \alpha  = \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) thì phương trình trở thành \(\cos \left( {x - \alpha } \right) = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

- Bước 4: Giải phương trình lượng giác cơ bản trên tìm \(x\).

Cách 2: (Thường dùng để giải và biện luận):

- Bước 1: Xét \(x = \pi  + k2\pi  \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \) có là nghiệm hay không.

- Bước 2: Xét \(x \ne \pi  + k2\pi  \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \) thì đặt \(t = \tan \dfrac{x}{2} \Rightarrow \sin x = \dfrac{{2t}}{{1 + {t^2}}},\cos x = \dfrac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\) ta được phương trình bậc hai theo \(t:\left( {b + c} \right){t^2} - 2at + c - b = 0\).

- Bước 3: Giải phương trình trên tìm \(t \Rightarrow x\) và kiểm tra điều kiện, kết luận nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình: \(\sqrt 3 \sin x-\cos x =  - 2\)

Giải:

\(\sqrt 3 \sin x-\cos x =  - 2\)\( \Leftrightarrow \)\(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x - \dfrac{1}{2}\cos x =  - 1\) \( \Leftrightarrow \) \(\sin x\cos \dfrac{\pi }{6} - \cos x\sin \dfrac{\pi }{6} =  - 1\)

\( \Leftrightarrow \) \(\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{6}} \right) =  - 1\) \( \Leftrightarrow \)\(x - \dfrac{\pi }{6} =  - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \) \( \Leftrightarrow \) \(x =  - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\)

IV. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin x và cos x

Phương trình dạng \({a{{\sin }^2}x + b\sin x\cos x + c{{\cos }^2}x = 0}\)

Cách giải.  

+) Kiểm tra \(\cos x = 0 \Rightarrow {\sin ^2}x = 1\) có là nghiệm của phương trình hay không.

+) Khi \(\cos x \ne 0\), chia hai vế phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta thu được phương trình

\(a{\tan ^2}x + b\tan x + c = 0.\)

Đây là phương trình bậc hai đối với \(\tan x\) mà ta đã biết cách giải.

Đặc biệt. Phương trình dạng \(a{\sin ^2}x + b\sin x\cos x + c{\cos ^2}x = d\) ta làm như sau:

Phương trình \( \Leftrightarrow a{\sin ^2}x + b\sin x\cos x + c{\cos ^2}x = d.1\)

\( \Leftrightarrow a{\sin ^2}x + b\sin x\cos x + c{\cos ^2}x = d\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\) \( \Leftrightarrow \left( {a - d} \right){\sin ^2}x + b\sin x\cos x + \left( {c - d} \right){\cos ^2}x = 0.\)

Ví dụ: Giải phương trình:\(4{\cos ^2}\dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{2}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + 3si{n^2}\dfrac{x}{2} = 3\)

Giải

+) TH1: \(\cos \dfrac{x}{2} = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin x = 2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2} = 0\\{\sin ^2}\dfrac{x}{2} = 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {4.0^2} + \dfrac{1}{2}.0 + 3.1 = 3\) (luôn đúng) \( \Rightarrow \cos \dfrac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi  \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) là nghiệm của phương trình.

+) TH2: \(\cos \dfrac{x}{2} \ne 0\), chia cả 2 vế của phương trình có \(\cos \dfrac{x}{2} \ne 0\) ta được phương trình tương đương:

\(\begin{array}{l}4\dfrac{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}} + \dfrac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2}}}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}} + 3\dfrac{{si{n^2}\dfrac{x}{2}}}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}} = \dfrac{3}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}\\ \Leftrightarrow 4 + \tan \dfrac{x}{2} + 3{\tan ^2}\dfrac{x}{2} = 3\left( {1 + {{\tan }^2}\dfrac{x}{2}} \right)\end{array}\)

Đặt t = tan\(\dfrac{x}{2}\) thì phương trình trở thành: \(3{t^2} + t + 4 = 3\left( {1 + {t^2}} \right)\)

\(t =  - 1 \Leftrightarrow \tan \dfrac{x}{2} =  - 1 \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi  \Leftrightarrow x =  - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm.

V. Kĩ năng tổng hợp và loại nghiệm bằng đường tròn lượng giác

1. Lý thuyết

2. Ví dụ

Tìm và biểu diễn các nghiệm của phương trình sau trên đường tròn lượng giác:

a) \(\sin \left( {2x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\2x + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Biểu diễn nghiệm trên đường tròn đơn vị:

Ở đó, hai điểm \({M_1},{M_2}\) biểu diễn góc \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \) và hai điểm \({M_3},{M_4}\) biểu diễn góc \(x =  - \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \).

b) \(\dfrac{{2\cos 2x}}{{1 - \sin 2x}} = 0\)

Điều kiện: \(1 - \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow \sin 2x \ne 1\) \( \Leftrightarrow 2x \ne \dfrac{\pi }{2} + k2\pi  \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{4} + k\pi \).

Phương trình \( \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \) \( \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\).

Biểu diễn trên đường tròn đơn vị:

Các điểm biểu diễn \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \) là \({M_1},{M_2}\) nhưng điều kiện là \(x \ne \dfrac{\pi }{4} + k\pi \) nên hai điểm này không lấy.

Các điểm biểu diễn \(x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\) là \({M_1},{M_2},{M_3},{M_4}\) nhưng do không lấy hai điểm \({M_1},{M_2}\) nên các điểm biểu diễn nghiệm chỉ còn \({M_3},{M_4}\).

Dễ thấy hai điểm này đối xứng nhau qua \(O\) và \(\widehat {AO{M_4}} =  - \dfrac{\pi }{4}\) nên nghiệm của phương trình là \(x =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

c) \(\dfrac{{\sqrt 3 \cot 2x - 1}}{{2\cos x + 1}} = 0\)

Điều kiện: \(2\cos x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow \cos x \ne  - \dfrac{1}{2}\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\x \ne  - \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Khi đó phương trình \( \Leftrightarrow \sqrt 3 \cot 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cot 2x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\) \( \Leftrightarrow \cot 2x = \cot \dfrac{\pi }{3} \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \) \( \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\).

Biểu diễn trên đường tròn đơn vị:

Ở đó, điểm \(M\) biểu diễn góc \(x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \) và điểm \({M_3}\) biểu diễn góc \(x =  - \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \), ta đánh dấu đỏ thể hiện không lấy hai điểm đó (do điều kiện xác định).

Các điểm \({M_1},{M_2},{M_3},{M_4}\) là các điểm biểu diễn nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{2}\), trong đó không lấy điểm \({M_3}\) do điều kiện xác định.

Do đó, chỉ còn lại hai điểm \({M_1},{M_2}\) (với \(\widehat {AO{M_1}} = \dfrac{\pi }{6}\)) biểu diễn góc \(x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \) và điểm \({M_4}\) biểu diễn góc \(x =  - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \) (với \(\widehat {AO{M_4}} =  - \dfrac{\pi }{3}\)).

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \) hoặc \(x =  - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \) với \(k \in \mathbb{Z}\).

Luyện bài tập vận dụng tại đây!