Phương trình mặt cầu

I. Các dạng phương trình mặt cầu

- Dạng 1: Phương trình chính tắc của mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R\) là:

\({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\)     (1)

- Dạng 2: Phương trình tổng quát của mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\)    (2)

Phương trình (2) có tâm \(I\left( { - a; - b; - c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).

Do đó điều kiện cần và đủ để (2) là phương trình mặt cầu là \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\)

II. Nhận biết các yếu tố từ phương trình mặt cầu

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa tâm và bán kính mặt cầu:

- Mặt cầu có phương trình dạng \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\) có tâm \(\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R\).

- Mặt cầu có phương trình dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) có tâm \(I\left( { - a; - b; - c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).

III. Viết phương trình mặt cầu

Phương pháp chung:

Cách 1: Sử dụng phương trình mặt cầu dạng chính tắc.

- Tìm tâm I(a;b;c) và bán kính R của mặt cầu, từ đó viết phương trình theo dạng 

\({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\) 

Cách 2: Sử dụng phương trình mặt cầu dạng tổng quát.

- Gọi mặt cầu có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\)

- Sử dụng điều kiện bài cho để tìm \(a,b,c,d\).

Một số bài toán hay gặp:

- Viết phương trình mặt cầu với tâm và bán kính đã cho.

- Mặt cầu có đường kính \(AB\): tâm là trung điểm của \(AB\) và bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2}\).

- Mặt cầu đi qua \(4\) điểm \(A,B,C,D\):

* Cách 1:

+) Gọi mặt cầu có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\)

+) Thay tọa độ các điểm bài cho vào phương trình và tìm \(a,b,c,d\).

*Cách 2:

+) Gọi I(a,b,c) là tâm của mặt cầu.

+) Lập hệ phương trình 

\(\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\IA = IC\\IA = ID\end{array} \right.\)

tìm a, b, c.

+) Bán kính \(R=IA\).

* Cách 3:

+) Tìm mặt phẳng trung trực của các đoạn thẳng AB, AC, AD. Mặt phẳng trung trực của AB đi qua trung điểm của AB và nhận AB làm một vectơ pháp tuyến.

+) Tâm mặt cầu là giao của 3 mặt phẳng đó.

+) Bán kính \(R=IA\).

IV. Tìm tham số để mặt cầu thỏa mãn điều kiện cho trước

- Mặt cầu đi qua một điểm nếu tọa độ điểm đó thỏa mãn phương trình mặt cầu.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!