Ứng dụng tích phân vào tính diện tích

I. Công thức tính diện tích hình phẳng

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\):

\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\):

\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)

II. Tính diện tích hình phẳng khi biết hai đường giới hạn

Phương pháp:

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\):

Công thức:

\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)

Các bước thực hiện:

+ Bước 1: Gọi \(S\) là diện tích cần xác định, ta có: \(S=\int_{a}^{b}|f(x)| d x\).

+ Bước 2: Xét dấu biểu thức \(f(x)\) trên \([a ; b]\). Từ đó phân được đoạn \([a ; b]\) thành các đoạn nhỏ, giả sử: \([a ; b]=\left[a ; c_{1}\right] \cup\left[c_{1} ; c_{2}\right] \cup \ldots \cup\left[c_{k} ; b\right]\) mà trên mỗi đoạn \(f(x)\) chỉ có một dấu.

+Bước 3: \(S=\int_{a}^{c_{1}}|f(x)| d x+\int_{c_{1}}^{c_{2}}|f(x)| d x+\ldots+\int_{c_{k}}^{b}|f(x)| d x\).

Chú ý: Nếu bài toán phát biểu dưới dạng: "Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(x=f(y)\) (liên tục trên đoạn \([a ; b]\) ) hai đường thẳng \(y=a, y=b\) và trục \(O y\)", khi đó công thức tính diện tích là: \(S=\int_{a}^{b}|f(y)| dy \).

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\):

Công thức:

\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$ và các trục tọa độ. Chọn kết quả đúng nhất.

A. $3\ln 6$

B. \(3\ln \dfrac{3}{2}\)

C. \(3\ln \dfrac{3}{2} - 2\)

D.\(3\ln \dfrac{3}{2} - 1\)

Giải:

Đồ thị hàm số cắt $Ox$ tại $\left( {-1;0} \right)$, cắt $Oy$ tại $\left( {0; - \dfrac{1}{2}} \right)$.

Hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$ có \(y' = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)\) nên hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$ nghịch biến trên $\left( {-1;0} \right)$.

Do đó \(y < 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)\)

Do đó $S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {\dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}} \right|} dx = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( { - \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}} \right)} dx =  - \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {1 + \dfrac{3}{{x - 2}}} \right)} dx $

$=  - \left( {x + 3\ln \left| {x - 2} \right|\mathop |\nolimits_{ - 1}^0 } \right) =  - 3\ln 2 - 1 + 3\ln 3 = 3\ln \dfrac{3}{2} - 1$

Chọn D.

III. Tính diện tích hình phẳng nếu chưa biết hai đường giới hạn

Phương pháp:

- Bước 1: Giải phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) tìm nghiệm.

- Bước 2: Phá dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức \(\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|\)

- Bước 3: Tính diện tích hình phẳng theo công thức tích phân:

\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)

Luyện bài tập vận dụng tại đây!