Ứng dụng tích phân vào tính thể tích

I. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị quanh trục Ox

Bài toán: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục \(Ox\) ($y=0$) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\) quanh trục \(Ox\)

- Nếu thiếu cận thì giải phương trình $f(x)=0$ để bổ sung cận.

- Công thức tính:

\(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)

Ví dụ: Cho đường cong \(y =  - {x^2} + 1\) và đường thẳng \(y = 0\). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường trên quanh \(Ox\).

Ta có: \( - {x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 1\end{array} \right.\)

Thể tích khối tròn xoay khi hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị

Thể tích: \(V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( { - {x^2} + 1} \right)}^2}dx}  = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{x^4} - 2{x^2} + 1} \right)dx}  \)

$= \pi \left. {\left( {\dfrac{{{x^5}}}{5} - \dfrac{{2{x^3}}}{3} + x} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \dfrac{{16\pi }}{{15}}$.

II. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị quanh trục Oy

Bài toán: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(x = f\left( y \right)\), trục \(Oy\) và hai đường thẳng \(y = a,y = b\left( {a < b} \right)\) quanh trục \(Oy\).

- Giải phương trình $f(y)=0$ để bổ sung cận.

- Công thức tính:

\(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( y \right)dy} \)

III. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị quanh trục Ox

Bài toán: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right],0 \le f\left( x \right) \le g\left( x \right),\forall x \in \left[ {a;b} \right]\) quay quanh trục \(Ox\)

Công thức tính:

\(V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {{g^2}\left( x \right) - {f^2}\left( x \right)} \right]dx} \)

IV. Tính thể tích của vật thể biết diện tích thiết diện cắt bởi các mặt phẳng vuông góc với Ox

Bài toán: Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi các mặt phẳng \(x = a,x = b\) biết diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc trục $Ox$ là \(S = S\left( x \right)\).

Công thức tính:

\(V = \int\limits_a^b {S\left( x \right)dx} \)

Khi miền \(D\) giới hạn bởi nhiều đồ thị hàm số thì ta nên vẽ hình, sau đó từ hình vẽ suy ra cách tính.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!