Xác suất của biến cố và các quy tắc tính xác suất

I. Biến cố và xác suất của biến cố

- Biến cố là một tập con của không gian mẫu, kí hiệu là \(A,B,...\)

- Tập hợp mọi kết quả của biến cố \(A\) kí hiệu là \({\Omega _A}\).

- Xác suất của biến cố \(A\) là: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( {{\Omega _A}} \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}\)

Trong đó, \(n\left( {{\Omega _A}} \right)\) là số phần tử của tập hợp \({\Omega _A}\) và \(n\left( \Omega  \right)\) là số phần tử của tập hợp \(\Omega \).

II. Tính chất

+) \(P\left( \emptyset  \right) = 0,P\left( \Omega  \right) = 1\)

+) \(0 \le P\left( A \right) \le 1\)

+) \(A\) và \(\overline A \) là hai biến cố đối thì \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right)\)

Ví dụ: Gieo một con xúc sắc cân đối và đồng chất.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Xác định tập hợp mô tả biến cố $A$: “Xuất hiện mặt chẵn chấm”.

c) Xác định xác suất của biến cố \(A\).

d) Gọi \(B\) là biến cố: “Xuất hiện mặt lẻ chấm”. Tính xác suất của biến cố $B$.

Giải:

a) Không gian mẫu \(\Omega  = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\).

b) \({\Omega _A} = \left\{ {2;4;6} \right\}\).

c) Xác suất của biến cố \(A\)là: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( {{\Omega _A}} \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\).

d) Ta có: \(B\) là biến cố đối của \(A\) nên \(P\left( B \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\).

III. Quy tắc cộng xác suất

- Hai biến cố \(A,B\) được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra.

+) Nếu \(A \cap B = \emptyset \) thì \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\)

+) Nếu \(A,B\) là hai biến cố bất kì thì \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right)\)

Ví dụ: Một chiếc hộp có chín thẻ đánh số từ \(1\) đến \(9\). Rút ngẫu nhiên hai thẻ rồi nhân hai số ghi trên hai thẻ với nhau. Tính xác suất để kết quả nhận được là một số chẵn.

Giải:

Kết quả nhận được là số chẵn khi và chỉ khi trong hai thẻ có ít nhất một thẻ chẵn.

Gọi \(A\) là biến cố “Rút được một thẻ chẵn và một thẻ lẻ”, \(B\) là biến cố “Cả hai thẻ được rút là thẻ chẵn”.

Khi đó biến cố “Tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn” là \(A \cup B\).

Do hai biến cố xung khắc nên \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).

Vì có \(4\) thẻ chẵn và \(5\) thẻ lẻ nên ta có:

\(P\left( A \right) = \dfrac{{C_5^1.C_4^1}}{{C_9^2}} = \dfrac{{20}}{{36}}\), \(P\left( B \right) = \dfrac{{C_4^2}}{{C_9^2}} = \dfrac{6}{{36}}\).

Do đó:

\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) \) \(= \dfrac{{20}}{{36}} + \dfrac{6}{{36}} = \dfrac{{26}}{{36}} = \dfrac{{13}}{{18}}\).

IV. Quy tắc nhân xác suất

- Hai biến cố \(A,B\) được gọi là độc lập nếu sự xảy ra hay không xảy ra của \(A\) không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố \(B\).

- Nếu hai biến cố \(A,B\) độc lập với nhau thì \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\).

Ví dụ: Một chiếc máy có hai động cơ \(I\) và \(II\) hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động cơ \(I\) chạy tốt là \(0,8\) và xác suất để động cơ \(II\) chạy tốt là \(0,7\). Hãy tính xác suất để cả hai động cơ đều chạy tốt.

Giải:

Gọi \(A\) là biến cố: “Động cơ \(I\) chạy tốt”, \(B\) là biến cố: “Động cơ \(II\) chạy tốt”, \(C\) là biến cố: “Cả hai động cơ đều chạy tốt”.

Ta thấy \(A,B\) là hai biến cố độc lập với nhau và \(C = AB\). Theo công thức nhân xác suất ta có:

\(P\left( C \right) = P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = 0,8.0,7 = 0,56\).

Luyện bài tập vận dụng tại đây!