Lũy thừa với số mũ tự nhiên. Nhân-chia hai lũy thừa cùng cơ số

I. Các kiến thức cần nhớ

1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên

Lũy thừa bậc $n$ của $a$ là tích của $n$ thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng $a :$

 ${a^n} = a.a \ldots ..a$ ($n$  thừa số $a$ ) ($n$  khác $0$ )

$a$  được gọi là cơ số.

$n$ được gọi là số mũ.

${a^2}$  gọi là $a$  bình phương (hay bình phương của $a$ );                  

${a^3}$  gọi là $a$ lập phương (hay lập phương của $a$.)

Quy ước: ${a^1} = a$; ${a^0} = 1\left( {a \ne 0} \right).$

Ví dụ: \({2^3} = 2.2.2 = 8\)

2. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số

${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}$

Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ.

Ví dụ: \({3^2}{.3^5} = {3^{2 + 5}} = {3^7}.\)

3. Chia hai lũy thừa cùng cơ số

${a^m}:{a^n} = {a^{m - n}}$ \(\left( {a \ne 0;\,m \ge n \ge 0} \right)\)

Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ cho nhau.

Ví dụ: \({3^5}:{3^3} = {3^{5 - 3}} = {3^2} = 3.3 = 9.\)

4. Mở rộng

a) Lũy thừa của lũy thừa

\({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}\)

Ví dụ: \({\left( {{2^3}} \right)^4} = {2^{3.4}} = {2^{12}}\)

b) Lũy thừa của một tích

\({\left( {a.b} \right)^m} = {a^m}.{b^m}\)

Ví dụ: \({\left( {2.3} \right)^4} = {2^4}{.3^4}\)

II. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Viết gọn một tích, một phép tính dưới dạng một lũy thừa

Phương pháp giải

 Áp dụng công thức:  $\underbrace {a.a.a.....a}_{n\,{\rm{thua}}\,{\rm{so}}}$$ = {a^n};$${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}};{a^m}:{a^n} = {a^{m - n}}\left( {a \ne 0,m \ge n} \right).$

Dạng 2:   Nhân; chia  hai lũy thừa cùng cơ số

Phương pháp giải

 Áp dụng công thức:${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}};{a^m}:{a^n} = {a^{m - n}}\left( {a \ne 0,m \ge n} \right).$

Dạng 3: So sánh các số viết dưới dạng lũy thừa

Phương pháp giải

 Để so sánh các số viết dưới dạng lũy thừa, ta có thể làm theo:

Cách 1: Đưa về cùng cơ số là số tự nhiên, rồi so sánh hai số mũ

Nếu \(m > n\) thì \({a^m} > {a^n}\)

Cách 2: Đưa về cùng số mũ rồi so sánh hai cơ số

Nếu \(a > b\) thì \({a^m} > {b^m}\)

Cách 3: Tính cụ thể rồi so sánh

Ngoài ra ta còn sử dụng tính chất bắc cầu: Nếu \(a < b;b < c\) thì \(a < c.\)  

Dạng 4:  Tìm số mũ của một lũy thừa trong một đẳng thức.

Phương pháp giải

 -Đưa về hai luỹ thừa của cùng một cơ số.

-Sử dụng tính chất : với \(a \ne 0;a \ne 1\) nếu ${a^m} = {a^n}$ thì $m = n\,\,(a,m,n \in N).$

Dạng 5:  Tìm cơ số của lũy thừa

Phương pháp giải

- Dùng định nghĩa lũy thừa:

$\underbrace {a.a.....a}_{n\,{\rm{thừa}}\,{\rm{số}}\,a}$ $ = {a^n}$
- Hoặc sử dụng tính chất với \(a;b \ne 0;a;b \ne 1\)

nếu ${a^m} = {b^m}$ thì $a = n\,\,(a,b,m,n \in N).$

Luyện bài tập vận dụng tại đây!