Lũy thừa với số mũ tự nhiên, nhân chia hai lũy thừa cùng cơ số

I. Các kiến thức cần nhớ

1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên

Lũy thừa bậc $n$ của $a$ là tích của $n$ thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng $a :$

 ${a^n} = a.a \ldots ..a$ ($n$  thừa số $a$ ) ($n$  khác $0$ )

$a$  được gọi là cơ số.

$n$ được gọi là số mũ.

${a^2}$  gọi là $a$  bình phương (hay bình phương của $a$ );                  

${a^3}$  gọi là $a$ lập phương (hay lập phương của $a$.)

Quy ước: ${a^1} = a$; ${a^0} = 1\left( {a \ne 0} \right).$

Ví dụ: \({2^3} = 2.2.2 = 8\)

2. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số

${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}$

Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ.

Ví dụ: \({3^2}{.3^5} = {3^{2 + 5}} = {3^7}.\)

3. Chia hai lũy thừa cùng cơ số

${a^m}:{a^n} = {a^{m - n}}$ \(\left( {a \ne 0;\,m \ge n \ge 0} \right)\)

Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ cho nhau.

Ví dụ: \({3^5}:{3^3} = {3^{5 - 3}} = {3^2} = 3.3 = 9.\)

4. Mở rộng

a) Lũy thừa của lũy thừa

\({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}\)

Ví dụ: \({\left( {{2^3}} \right)^4} = {2^{3.4}} = {2^{12}}\)

b) Lũy thừa của một tích

\({\left( {a.b} \right)^m} = {a^m}.{b^m}\)

Ví dụ: \({\left( {2.3} \right)^4} = {2^4}{.3^4}\)

II. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Viết gọn một tích, một phép tính dưới dạng một lũy thừa

Phương pháp giải

 Áp dụng công thức:  $\underbrace {a.a.a.....a}_{n\,{\rm{thua}}\,{\rm{so}}}$$ = {a^n};$${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}};{a^m}:{a^n} = {a^{m - n}}\left( {a \ne 0,m \ge n} \right).$

Dạng 2:   Nhân; chia  hai lũy thừa cùng cơ số

Phương pháp giải

 Áp dụng công thức:${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}};{a^m}:{a^n} = {a^{m - n}}\left( {a \ne 0,m \ge n} \right).$

Dạng 3: So sánh các số viết dưới dạng lũy thừa

Phương pháp giải

 Để so sánh các số viết dưới dạng lũy thừa, ta có thể làm theo:

Cách 1: Đưa về cùng cơ số là số tự nhiên, rồi so sánh hai số mũ

Nếu \(m > n\) thì \({a^m} > {a^n}\)

Cách 2: Đưa về cùng số mũ rồi so sánh hai cơ số

Nếu \(a > b\) thì \({a^m} > {b^m}\)

Cách 3: Tính cụ thể rồi so sánh

Ngoài ra ta còn sử dụng tính chất bắc cầu: Nếu \(a < b;b < c\) thì \(a < c.\)  

Dạng 4:  Tìm số mũ của một lũy thừa trong một đẳng thức.

Phương pháp giải

 -Đưa về hai luỹ thừa của cùng một cơ số.

-Sử dụng tính chất : với \(a \ne 0;a \ne 1\) nếu ${a^m} = {a^n}$ thì $m = n\,\,(a,m,n \in N).$

Dạng 5:  Tìm cơ số của lũy thừa

Phương pháp giải

- Dùng định nghĩa lũy thừa:

$\underbrace {a.a.....a}_{n\,{\rm{thừa}}\,{\rm{số}}\,a}$ $ = {a^n}$
- Hoặc sử dụng tính chất với \(a;b \ne 0;a;b \ne 1\)

nếu ${a^m} = {b^m}$ thì $a = n\,\,(a,b,m,n \in N).$

Luyện bài tập vận dụng tại đây!