Ôn tập chương 4: Đoạn thẳng

1. Điểm. Đường thẳng

a, Điểm

- Điểm là một khái niệm cơ bản của hình học, ta không định nghĩa điểm mà chỉ hình dung nó, chẳng hạn bằng một hạt bụi rất nhỏ, một chấm mực trên mặt giấy,...

- Hai điểm không trùng nhau là hai điểm phân biệt.

- Bất cứ một hình hình học nào cũng đều là một tập hợp các điểm. Người ta gọi tên điểm bằng các chữ cái in hoa.

b, Đường thẳng

- Đường thẳng là một khái niệm cơ bản, ta không định nghĩa mà chỉ hình dung đường thẳng qua hình ảnh thực tế như một sợi chỉ căng thẳng, vết bút chì vạch theo cạnh thước,...

- Đường thẳng cũng là tập hợp các điểm.

- Đường thẳng không bị giới hạn về cả hai phía. Người ta đặt tên đường thẳng bằng một chữ thường, hoặc hai chữ thường, hoặc hai điểm bất kì thuộc đường thẳng.

c, Quan hệ giữa điểm và đường thẳng (được diễn tả bằng một trong các cách sau)

2. Ba điểm thẳng hàng

- Khi ba điểm cùng thuộc một đường thẳng, ta nói là ba điểm thẳng hàng.

- Khi ba điểm không cùng thuộc bất kì đường thẳng nào, ta nói chúng không thẳng hàng.

- Trong 3 điểm thẳng hàng, có một điểm và chỉ một điểm nằm giữa hai điểm còn lại.

Với 3 điểm thẳng hàng A, B, C ta có thể nói:

+ Điểm B nằm giữa hai điểm A và C.

+ Hai điểm A và B nằm cùng phía đối với điểm C, Hai điểm B và C nằm cùng phía đối với điểm A.

+ Hai điểm A và C nằm khác phía đối với điểm B.

- Nhận xét: Có một đường thẳng và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm A và B.

3. Đường thẳng

a. Điều kiện xác định một đường thẳng

Với hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\) cho trước, có một và chỉ một đường thẳng đi qua điểm \(A\) và điểm \(B.\)

b. Ba cách đặt tên đường thẳng

- Dùng hai chữ cái in hoa, ví dụ \(AB\)

- Dùng một chữ cái in thường, ví dụ \(a\)

- Dùng hai chữ cái in thường, ví dụ \(xy\)

c. Vị trí của hai đường thẳng

Hai đường thẳng a, b bất kì có thể:

+ Trùng nhau: có vô số điểm chung.

+ Cắt nhau: chỉ có 1 điểm chung - điểm chung đó gọi là giao điểm.

+ Song song: không có điểm chung nào.

- Chú ý:

+ Hai đường thẳng không trùng nhau còn được gọi là hai đường thẳng phân biệt.

+ Khi có nhiều đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm ta nói chúng đồng quy tại điểm đó.

 + Khi có nhiều đường thẳng nhưng trong đó không có hai đường thẳng nào song song và không có ba đường thẳng nào đồng quy, ta nói các đường thẳng này đôi một cắt nhau hoặc cắt nhau từng đôi một.

4. Tia

a. Định nghĩa

- Hình gồm điểm O và một phần đường thẳng bị chia ra bởi điểm O được gọi là một tia gốc O, còn gọi là một nửa đường thẳng gốc O.

- Khi đọc (hay viết) tên một tia, phải đọc (hay viết) tên gốc trước.

- Hai tia chung gốc và tạo thành một đường thẳng gọi là hai tia đối nhau.

- Chú ý:

+ Mỗi điểm trên đường thẳng là gốc chung của hai tia đối nhau.

+ Hai tia Ox, Oy đối nhau. Nếu điểm A thuộc tia Ox và điểm B thuộc tia Oy thì điểm O nằm giữa hai  điểm A và B.

- Hai tia trùng nhau có cùng gốc và có một điểm chung khác gốc.

Nghĩa là nếu điểm \(A\) thuộc tia \(Ox\,\left( {A \ne O} \right)\) thì hai tia \(Ox\) và \(OA\) trùng nhau

- Hai tia không trùng nhau còn được gọi là hai tia phân biệt.

5. Đoạn thẳng

a. Định nghĩa

- Đoạn thẳng \(AB\)  là hình gồm điểm A, điểm B và tất cả các điểm nằm giữa $A$ và $B.$

- Các điểm $A,{\rm{ }}B$ gọi là hai mút (hoặc hai đầu) đoạn thẳng $AB$.

- Khi hai đoạn thẳng có một điểm chung, ta nói hai đoạn thẳng ấy cắt nhau.

b. Độ dài đoạn thẳng

- Mỗi đoạn thẳng có một độ dài. Độ dài đoạn thẳng là một số dương. Độ dài đoạn thẳng AB cũng còn gọi là khoảng cách giữa hai điểm A và B.

Nhận xét:

+ Khi hai điểm A và B trùng nhau, ta nói độ dài bằng 0.

c. So sánh hai đoạn thẳng

- Hai đoạn thẳng bằng nhau nếu có cùng độ dài.

- Đoạn thẳng lớn hơn nếu có độ dài lớn hơn.

Chú ý:

- Trên một tia gốc $O,$ với bất kì số $m > 0$, bao giờ cũng xác định được một điểm $M$ để độ dài $OM = m.$

-  Trên tia $Ox,$ nếu có hai điểm $M,{\rm{ }}N$ với $OM = a,ON = b$ và $0 < a < b$ thì điểm $M$ nằm giữa hai điểm $O$ và $N.$

d. Cộng độ dài đoạn thẳng

Nếu điểm $M$ nằm giữa hai điểm $A$ và $B$ thì $AM + MB = AB$.

Ngược lại  nếu \(AM + MB = AB\) thì điểm $M$ nằm giữa hai điểm $A$ và $B$.

Chú ý:

+ Ta có thể dùng mệnh đề:  “Nếu \(AM + MB \ne AB\) thì điểm \(M\) không nằm giữa \(A\) và \(B.\)”

+ Nếu điểm \(M\) nằm giữa \(A\) và \(B;\) điểm \(N\) nằm giữa \(M\) và \(B\) thì \(AM + MN + NB = AB.\)

6. Trung điểm của đoạn thẳng

Định nghĩa: Trung điểm của đoạn thẳng là điểm nằm giữa và cách đều hai đầu đoạn thẳng. Trung điểm của đoạn thẳng còn gọi là điểm chính giữa của đoạn thẳng.

Tóm tắt: \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\)$ \Leftrightarrow $${\rm{MA  =  MB}}$ và \(M\) nằm giữa hai điểm \(A;B.\)

hoặc \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AM + MB = AB\\{\rm{MA  =  MB}}\end{array} \right.$

hoặc \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\)  $ \Leftrightarrow {\rm{AM  =  BM  = }}\dfrac{1}{2}AB$

Luyện bài tập vận dụng tại đây!